一类非线性奇异摄动方程解的渐近表示

一、一类非线性奇摄动方程解的渐近表示(英文)（论文文献综述）

冯涛^[1]（2021）在《若干奇摄动时滞微分方程的空间对照结构》文中进行了进一步梳理上世纪中叶,科研工作者们发现奇摄动时滞微分方程在科学工程各种实际问题的模型建立中起重要作用.近些年来,国内外有广大学者都投身于这一领域的研究中,大大推动了奇摄动理论的发展并丰富了其研究内容.本文旨在利用经典奇摄动理论及方法并通过对辅助问题进行相平面分析,研究几类奇摄动时滞微分方程的空间对照结构.全文共分为五章,内容安排如下.第一章概述了奇摄动理论的发展历史,罗列了部分基本定理并简述空间对照结构的概念,简要介绍了奇摄动时滞微分方程及其研究进展.本章最后对本文所研究的内容进行了详细介绍.第二章研究了一类可化为快–慢系统的拟线性问题.Vasil’eva在[Comput.Math.Math.Phys.,35（4）:411–419,1995]中首次利用边界层函数法研究了拟线性二阶奇摄动微分方程的渐近解.在[Differ.Equ.,53（12）:1567–1577,2017]中,Ni等人将Vasil’eva的工作推广到了右端不连续情形.本章将进一步研究拟线性问题,并将已有工作延伸到含时滞量的情形.主要研究该问题在时滞点处出现的内部转移层现象.构造了该问题一致有效光滑渐近解的渐近展开式,证明了光滑解的存在性并得到了余项估计.最后通过一个具体的算例和数值模拟来说明本章渐近解构造算法的可操作性.第三章主要考虑了一类弱非线性问题.Vasil’eva&Davydova[Comput.Math.Math.Phys.,38（6）:900–908,1998]首次把空间对照结构理论应用到弱非线性奇摄动方程,后来Wang&Ni[Acta Math.Sci.,32（2）:695–709,2012]将弱非线性问题推广到含时滞量情形.本章在现有结果的基础上,进一步增强了一阶导数dy/dt对问题本身的影响,深入研究所提问题具有左、右边界层和内部转移层现象的光滑渐近解.构造了该问题一致有效的渐近解,证明了光滑解的存在性并给出了解的余项估计.本章最后给出一个算例和数值模拟以验证本章算法的可行性.第四章着重探讨了“速度”一样的含时滞奇摄动微分系统.在[Comput.Math.Math.Phys.,34（10）:1215–1223,1994]中,Vasil’eva首次利用边界层函数法研究了一阶奇摄动微分方程组,近期Pang等人[Differ.Equ.,54（12）:1583–1594,2018]着手研究了一阶右端不连续奇摄动常微分方程组的对照结构,将已有结果进行了推广.本章将着手把奇摄动微分方程组的相应结果推广到时滞情形.应用标准Vasil’eva边界层函数法以及空间对照结构理论,建立了所考虑问题渐近解的构造算法.然后借助“多元缝接法”进行缝接并证明了解在整个感兴趣区间上的存在性和一致有效性.最后给出了一个具体算例并通过数值模拟对本章结果进行了验证.与前两章不同,本章得到的只是连续渐近解.第五章是全文的简要总结及今后学术研究的几点展望.

杜亚洁^[2]（2020）在《几类带有奇性的奇摄动问题解的渐近性质》文中进行了进一步梳理本文主要利用匹配渐近展开法和微分不等式理论研究若干带有奇性的奇摄动问题。本文主要包括三个部分:第一章绪论部分介绍了本文的研究背景、研究目的,并综述了相关的预备知识。第二章研究了方程的次高阶导数前带有奇性的二阶线性奇摄动边值问题,研究结果表明此类问题具有重边界层现象。并且利用匹配渐近展开法构造出了该方程的形式渐近解,同时,用微分不等式理论证明了渐近解的一致有效性。第三章研究了具有奇性且具有重退化根的一阶非线性初值奇摄动问题。研究结果表明此类问题在边界层处也具有重边界层现象。第四章研究了一类非线性时滞奇摄动边值问题,这类问题的奇性位于区间内部某待定点。研究结果表明此类问题具有激波现象。同时利用匹配渐近展开法构造出了解的形式渐近展开式,并用微分不等式理论证明了形式解的一致有效性。

江远杰^[3]（2020）在《一类具有不连续项的奇异摄动反应扩散方程的研究》文中进行了进一步梳理本文主要研究了一类具有不连续反应项和扩散项的奇摄动反应扩散问题,利用奇摄动理论,空间对照结构理论和标准的Vasil’eva边界层函数法构造了该问题的一致有效渐近解,给出了余项估计和稳定性分析.全文共分为三章,具体内容如下:第一章主要介绍了研究背景和进展,回顾了奇摄动理论中的基本方法和定理,并介绍了本文的工作.第二章研究了具有不连续反应项和扩散项的奇摄动反应扩散方程的Dirich-let边值问题.通过边界层函数法构造具有内部层和边界层的形式渐近解,其中内部层位于不连续反应项的曲线附近,并通过空间对照结构理论以及缝接法保证了渐近解的光滑性,最后通过微分不等式方法证明了周期解的存在性并估计了其渐近逼近的准确性,用微分不等式方法证明周期解是局部渐近稳定的,稳定区间长度为O（?）.第三章对全文进行总结,说明本文研究意义并提出展望.

孙玉娇^[4]（2019）在《具重退化根的奇摄动方程解的渐近性态》文中指出本文主要利用边界层函数法和微分不等式理论研究若干类具有重退化根的奇摄动问题。第一章绪论部分介绍了本文的研究背景、研究目的及国内外研究进展,并综述了相关的预备知识。第二章研究了具有幂率衰减边界层的奇摄动问题。考虑具有三重退化根的二阶奇摄动Dirichlet边值问题。利用边界层函数法构造出形式解,得到的边界层函数呈幂率衰减形式,并用上下解方法得到形式解的存在性和一致有效估计。第三章研究了带Neumann边界条件的具重退化根的几类奇摄动问题。由于方程类型的特殊性,研究结果表明,此类问题存在多区边界层,即在靠近边界的区域呈幂率衰减,但最终过渡到指数衰减。针对上述现象,我们在第一节中考虑了具二重退化根的奇摄动常微分方程,利用修正的边界层函数法构造出解的形式渐近展开式,得到带有指数衰减形式的多区边界层函数。最后给出了一个实例分析。在第一节的基础上,第二节考虑具有重退化根的奇摄动反应扩散方程的渐近解,同样采用修正的边界层函数法构造出形式解,并用微分不等式理论证明了解的存在性。第四章研究了具有三重退化根的奇摄动椭圆方程的渐近解。利用边界层函数法构造出了解的形式渐近展开式,并证明了形式解的一致有效性。

李文彦^[5]（2019）在《奇摄动热弹耦合模型分析》文中研究指明激光激发的热弹性耦合模型在工程上有重要意义,研究热弹性耦合模型首先需要确定温度场分布,由于激光激发的时间短（一般为飞秒级）,传统Fourier热传导定律不再适合。因此应用非Fourier热传导定律建立温度场的分布就很有必要。前人对温度场模型的研究多是采用数值分析与计算机模拟来讨论其数值解,很少能够直接求解模型的解析解。迄今为止,应用奇摄动分析方法来求解温度场模型的渐近解和确定热传导系数发生跳跃的位置的相关报道比较少。首先通过应用非Fourier热传导定律构建了单层材料中温度场模型,即一类在无界域上带小参数的奇摄动双曲方程,应用奇摄动方法得到该问题的展开式,通过对内解和外解的最大模估计和关于时间导数的最大模估计,得到了内外解的存在唯一性,从而得到了解的形式渐近展开式。通过余项估计,得到了渐近解的一致有效性,从而得到了无界域上温度场的分布。其次考虑由于温度急剧变化热传导系数出现跳跃的一维温度场的情况,得到了非线性的具有间断系数的奇摄动双曲方程。应用奇摄动方法得到该问题的展开式,通过对内解和外解的最大模估计和关于时间导数的最大模估计,得到了内外解的存在唯一性,确定了热传导系数跳跃的位置关系。并用缝接法将热传导系数发生跳跃的位置两边的解缝接起来,从而得到了解的形式渐近展开式。其次通过余项估计,得到了渐近解的一致有效性。将一维问题扩展到三维,讨论热传导系数发生跳跃的温度场模型,得到了一类非线性的具有间断系数的奇摄动双曲方程,应用奇摄动双参数展开法得到该问题的展开式,并且通过给出最大模估计得到了内外解的存在唯一性,进而通过Fourier变换确定了热传导系数跳跃的位置关系,并用缝接法将热传导系数发生跳跃的位置两边的解缝接起来,从而得到了解的形式渐近展开式。其次通过余项估计,得到了渐近解的一致有效性,从而得到了完整温度场的分布。通过奇摄动分析,给出了非Fourier温度场与Fourier温度场的关系,描述了非Fourier温度场的具体性态。主要内容如下:1、非Fourier温度场分布的奇摄动解。通过应用非Fourier热传导定律构建了单层材料中温度场模型,即一类在无界域上带小参数的奇摄动双曲抛物方程,克服了用Fourier热传导定律描述问题存在的缺陷。首先,应用奇摄动方法,对该类奇摄动双曲方程进行了渐近展开,得到了该问题的内解和外解,构造了相应的形式渐近解。通过对解做出估计以及古典解的存在唯一性定理给出了内解和外解的存在性、唯一性。其次,由奇摄动理论,对该类奇摄动双曲方程进行了初始层矫正,得到了解关于时间的导数的估计。并且得到了余项估计,得到了渐近解的一致有效性,从而得到了在无界域上温度场的分布。此外,给出了非Fourier温度场分布与Fourier温度场分布的联系与差异,描述了非Fourier温度场的具体性态。2、一类热传导系数跳跃的非Fourier温度场分布的奇摄动双参数解。应用非Fourier热传导定律构建了温度场模型,即一类在有界域上带小参数的奇摄动双曲方程,由于温度急剧变化热传导系数出现跳跃的情况,得到了非线性的具有间断系数的奇摄动双参数双曲方程。通过奇摄动双参数展开方法,得到了该问题的渐近解。其次应用分离变量法确定了热传导系数跳跃的位置表达式,并用缝接法将热传导系数发生跳跃的位置两边的解缝接起来,从而得到了解的形式渐近展开式。其次通过余项估计,得到了渐近解的一致有效性,从而得到了完整温度场的分布。3、三维热传导系数跳跃的非Fourier温度场分布的奇摄动解。应用非Fourier热传导定律构建了温度场模型,即一类在无界域上带小参数的奇摄动双曲方程,由于温度急剧变化热传导系数出现跳跃的情况,得到了非线性的具有间断系数的奇摄动双参数双曲方程。通过奇摄动双参数展开方法,得到了该问题的渐近解,首先应用奇摄动方法得到该问题的展开式,通过对解做出估计以及古典解的存在唯一性定理给出了内解和外解的存在性、唯一性。其次,由奇摄动理论,对该类奇摄动双曲方程进行了初始层矫正,得到了解关于时间的导数的估计。并且通过用Fourier变换确定了热传导系数跳跃的位置表达式,用缝接法将热传导系数发生跳跃的位置两边的解缝接起来,从而得到了解的形式渐近展开式。最后通过余项估计,得到了渐近解的一致有效性,从而得到了热传导系数间断的温度场的分布。4、温度场与应力场耦合时弹性体的振动问题。采用非Fourier温度场和一类方程的联立来构造热弹耦合模型,由于温度场的温度急剧变化导致热传导系数出现跳跃,热弹耦合模型也会出现跳跃,根据奇摄动理论,得到了问题的渐近解。其次采用行波法分别求解了在t=0（初始层）和t=t*（跳跃层）的间断声场的瞬态位移,研究了初始层和跳跃层的渐近解的相关性质,得到了在t=0处,热应力场出现了边界层,呈现指数衰减形式,再考虑t*<t<T,y<φ（s）和t*<t<T,y>φ（s）两种情形,得到了由于温度场的热传导系数的不同,热应力场的解也不同,我们采用双参数展开法,左端用ε进行渐近展开,右端用εμ进行渐近展开,得到了较精确的高阶近似解。5、将一维热弹耦合推广到了三维热弹耦合中,且是在无界域上进行的,根据奇摄动分析方法,在热传导系数跳跃的两侧分别进行奇摄动渐近展开,得到形式渐近解。通过Fourier变换求解出了间断的声场的瞬态位移,研究了初始层和跳跃层的渐近解的相关性质,采用双参数展开法,左端用ε渐近展开,右端用εμ渐近展开,得到了较精确的高阶近似解。在研究过程中,我们综合应用了常微分方程,偏微分方程,数学与物理方程,非线性声学,数学分析,奇摄动理论等多个方面的知识,不仅丰富了非Fourier温度场模型的研究,还深入了热弹耦合模型的探讨。

李超^[6]（2014）在《几类微分方程边值问题摄动解的研究》文中研究说明奇异摄动常微分方程的边值问题出现在经济和科学技术等领域.奇异摄动理论中的许多方法在解决某些边值问题中得到了有效的应用，如：边界层函数法，微分不等式法，匹配渐近展开法以及相平面分析法等.本文主要运用渐近展开式法和匹配渐近法的技巧，在一定条件下证明几类摄动微分方程边值问题解的存在性，并在此基础上研究了带有参数的导弹飞行动力学问题.结构安排及主要内容如下:在第一章中，介绍了奇异摄动理论的发展历史和常用方法.在第二章中，讨论了含多个参数的高阶非线性方程的摄动解，在适当的条件下，先构造出外部解，再根据不同的边界层，利用伸展变量和幂级数展开式理论，构造问题的形式渐近解，最后利用微分不等式理论证明渐近解的一致有效性和渐近形态，把奇摄动非线性问题中的参数由两个推广到了多个.在第三章中，讨论了一类非线性奇摄动脉冲微分方程在两端点出现边界层的问题.先将区间划分成一系列的子区间，在每个子区间上利用脉冲条件和边界条件，通过匹配渐近法，得到在各个子区间上的解，然后通过实例对所得结果进行验证.在第四章中，尝试将摄动理论与导弹动力学模型相结合.建立导弹动力系统模型，根据最小误差理论用一个近似的线性系统来描述导弹的非线性运动，进而使模型得到简化，运用摄动法计算简化后的导弹运动系统进而求出解析解，通过比较渐近解与解析解，得出了系统解析解可以更好的描述导弹的运动状态这一结论，最后分析参数对导弹的运动特征的影响.

周克浩^[7]（2014）在《几类奇摄动非线性边值问题的角层现象》文中研究说明本文主要讨论了几类奇摄动问题的角层现象文章的结构安排如下：第一章主要说明了奇摄动问题的研究概况.介绍了本文的主要工作和创新之处，且陈述了本文用到的基本概念和主要引理.第二章主要研究了一类二阶微分方程奇摄动Dirichlet问题的角层解.我们对右端函数在三种不同条件下，通过引入辅助问题，分别构造出具体的上、下解：并利用微分不等式理论证明了解的存在性,给出了解的渐近估计,最后举例说明三个定理的应用价值.第三章讨论了具有双参数的二阶拟线性微分方程奇摄动Dirichlet问题的角层性态：对两参数分三种不同情形：构造相应的界定函数对，并利用微分不等式理论证明了该问题解的存在性：给出了解的渐近估计,最后举例说明了三个定理的意义.第四章主要讨论了具有双参数的二阶拟线性方程奇摄动Robin问题的边界层性态与角层性态.对两参数分三种不同情形，利用微分不等式理论证明了上述两问题在各情形下的解的存在性.给出了解的渐近估计.

秦赵娜^[8]（2014）在《几类二阶非线性方程的奇摄动问题的边界层现象》文中研究表明本文主要研究了几类二阶非线性方程的奇摄动问题的边界层现象,在退化解是局部弱稳定的主要假设下,利用界定函数法和微分不等式理论证明了呈边界层性态的解的存在性,并给出了解的渐近估计.全文共分四章：第一章介绍了一般的奇异摄动问题的研究意义和概况,简述了边界层现象的由来和研究意义,并陈述了本文将要用到的主要引理及本文的主要工作和创新之处.第二章通过构造辅助问题,选取界定函数,利用量阶的估计,讨论了具有局部弱稳定退化解的一般二阶非线性方程的奇摄动Diriehlet问题εy"=F（t,y,y’）, α<t<b, y（α,ε）=A, y（b,ε）=B.利用微分不等式理论证明了六种不同条件下的解的存在性,并给出解的渐近估计.最后给出两个例子说明研究成果的应用价值.第三章通过比较方程,构造界定函数,利用不等式放大技巧,研究了具有局部弱稳定退化解的一般二阶非线性方程的奇摄动Robin问题1εy"=F（t,y,y’）, α<t<b, y（α,ε）-p1y’（α,ε）=A, y（b,ε）+p2y’（b,ε）=B.利用微分不等式理论证明了三种不同条件下的解的存在性和渐近性态.最后给出一个例子说明研究成果的应用价值.第四章通过比较方程,构造界定函数,研究了具有局部弱稳定退化解的一般二阶非线性方程的奇摄动Robin问题2εy"=F（t,y,y’）,α<t<b,y（α,ε）-p1y’（α,ε）=A, y（b,ε）=B.利用微分不等式理论证明了六种不同条件下的解的存在性和渐近性态,并给出两个例子说明研究成果的应用价值.

周燕^[9]（2013）在《一个非线性奇摄动方程解的分类及渐近分析》文中研究说明即便在看似简单的非线性问题中,解也可能会产生不同现象,例如边界层、内部层、角层,或者是多种情况的混合.本文主要研究了在如下一个含小参数的二阶非线性边值问题中,解对边值A和B的依赖关系,这里A和B不依赖于ε.由于该问题是非线性的,所以当边值发生变化时,解的定性性质将发生改变,即可能产生不同的现象.本文将参照Cole的意见,把A-B平面划分成九个区域.在对原方程进行Lienard变换,将其转换成等价的微分方程组之后,我们将根据每一个区域中A和B满足的具体条件,应用相平面分析法分析解的性质,并计算出边界层、内部层或者角层产生的具体时刻.随后,本文将就其中的五个区域,做以下三个方面的工作：第一,构造它的一次形式渐近解；第二,比较渐近解和数值解的图像；第三,证明解的存在性并进行余项估计.

韩建邦^[10]（2013）在《几类具有无穷边界值的非线性奇异摄动边值问题》文中研究说明本文主要应用微分不等式技巧（或称为上下解方法）,在一定条件下研究几类具有无穷边界值的非线性奇异摄动边值问题解的存在性、解的渐近行为以及解的高阶渐近展开.本文分为四章：第一章为绪论.本章主要介绍具有无穷大边界值的奇异摄动边值问题的研究背景以及前人在该方向已做的一些工作；同时,给出后面需要用到的几个基本引理.第二章研究一类具有无穷边界值的二次奇摄动Robin边值问题解的存在性与解的渐近行为.重点关注边界值的奇性程度对解的边界层行为的影响；同时,将所得的结果与Chang与Howes的结果（Chang与Howes考虑的是带正常边界值的奇摄动边值问题）进行比较,揭示二者之间的区别.最后,给出一个算例验证本文的结果.第三章研究具有无穷边界值的二次奇异摄动Robin边值问题的双边界层现象.利用边界层校正的思想,构造了问题在左右两个端点的边界层校正函数（含指数、代数型边界层）；利用微分不等式理论,证明了解的存在性及解的渐近行为.第四章利用合成展开法,研究一类无穷边界值的奇摄动三阶拟线性两点边值问题解的高阶渐近展开；利用微分不等式理论.证明了解的存在性以及近似解的误差估计.

二、一类非线性奇摄动方程解的渐近表示(英文)（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、一类非线性奇摄动方程解的渐近表示(英文)（论文提纲范文）

（1）若干奇摄动时滞微分方程的空间对照结构（论文提纲范文）

（2）几类带有奇性的奇摄动问题解的渐近性质（论文提纲范文）

（3）一类具有不连续项的奇异摄动反应扩散方程的研究（论文提纲范文）

（4）具重退化根的奇摄动方程解的渐近性态（论文提纲范文）

（5）奇摄动热弹耦合模型分析（论文提纲范文）

（6）几类微分方程边值问题摄动解的研究（论文提纲范文）

（7）几类奇摄动非线性边值问题的角层现象（论文提纲范文）

（8）几类二阶非线性方程的奇摄动问题的边界层现象（论文提纲范文）

（9）一个非线性奇摄动方程解的分类及渐近分析（论文提纲范文）

（10）几类具有无穷边界值的非线性奇异摄动边值问题（论文提纲范文）

四、一类非线性奇摄动方程解的渐近表示(英文)（论文参考文献）

• [1]若干奇摄动时滞微分方程的空间对照结构[D]. 冯涛. 华东师范大学, 2021(08)
• [2]几类带有奇性的奇摄动问题解的渐近性质[D]. 杜亚洁. 安徽工业大学, 2020(06)
• [3]一类具有不连续项的奇异摄动反应扩散方程的研究[D]. 江远杰. 华东师范大学, 2020(10)
• [4]具重退化根的奇摄动方程解的渐近性态[D]. 孙玉娇. 安徽工业大学, 2019(02)
• [5]奇摄动热弹耦合模型分析[D]. 李文彦. 杭州电子科技大学, 2019(04)
• [6]几类微分方程边值问题摄动解的研究[D]. 李超. 中北大学, 2014(08)
• [7]几类奇摄动非线性边值问题的角层现象[D]. 周克浩. 安徽师范大学, 2014(04)
• [8]几类二阶非线性方程的奇摄动问题的边界层现象[D]. 秦赵娜. 安徽师范大学, 2014(04)
• [9]一个非线性奇摄动方程解的分类及渐近分析[D]. 周燕. 华东师范大学, 2013(12)
• [10]几类具有无穷边界值的非线性奇异摄动边值问题[D]. 韩建邦. 福建师范大学, 2013(02)

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