一、求解椭圆型偏微分方程边值问题的无网格伽辽金方法（论文文献综述）
侯志春[1]（2021）在《基于小波积分配点法求解矩形板大挠度弯曲问题》文中指出在力学领域中普遍存在着非线性现象,数学形式上可以描述为非线性的初边值问题。但是由于非线性问题的复杂性,目前我们很难去找到其解析解,所以现在的工程问题中通常需要数值技术去解决。虽然目前已有数值算法中已经在该方面取得了很大的成功,但是现有的研究还是没有把非线性问题解决好。比如有多空间维度或高阶导数的存在时,一般都未能有效解决,非线性问题的存在使得现有算法难以凑效,尤其是三则耦合情况下更是无法解决。基于目前研究现状,本文针对高维高阶导数的非线性问题给出了高精度的求解方法,同时在解决薄板结构的弯曲问题时避免了有限元软件仿真分析导致的沙漏效应。本文基于一维小波方法,拓展了多维Coiflet小波积分逼近格式,构造了高维小波积分配点法,并通过数值算例验证了该算法的可行性。具体研究内容分三个部分介绍如下:（1）介绍了紧支性的正交Coiflet小波,基于此得到了有界区间上L2函数的多维小波积分逼近格式,通过泰勒多项式插值展开对逼近格式的误差精度给出了证明。之后对三维空间中的边界端点处存在的跳跃现象进行了改进,获得了更为稳定的小波函数积分形式,给出了高维高阶小波积分配点法的数值离散格式。（2）考虑到泊松方程经常被用来验证一种新算法的优劣,本文利用极端的高维高阶类泊松问题去验证前面构造的小波积分配点法。我们分别分析了二维4到8阶以及三维4阶类泊松方程的数值精度,发现本文所构造的方法求解精度不依赖于空间维数以及最高阶导数阶数,更重要的是始终保持和直接逼近函数一样的高精度。（3）针对于在力学结构分析中的矩形薄板大挠度弯曲问题,诸如有限元算法会因为形函数阶数太低不能描述弯曲状态而导致沙漏效应。小波方法引入高阶形函数进行插值,可以准确表达板的弯曲状态,且小波积分配点法采用积分的思路,不依赖于导数,不会损失求解精度。我们通过在板的中心加载集中力验证了该算法完全可以避免剪力锁闭现象,以及在精度方面保持了与理论分析的一致性。
程用平[2]（2020）在《一些流体力学方程的保结构间断伽辽金方法》文中提出偏微分方程形式的数学模型是数学、科学和工程界里面极为有用的工具,发展稳健、高效和高精度的数值方法来模拟它们的解仍然是一项具有挑战性的任务。近几十年以来,双曲型偏微分方程的高阶数值方法,例如间断伽辽金（DG）方法和加权本质无振荡（WENO）重构方法得到了广泛的发展。这些高阶数值方法进一步发展的一个重要并具有挑战性的方向是确保结构保持特性,即发展高阶数值方法,它可以精确地保持底层模型的某些结构或其它基本连续体特性。本论文由三个部分组成,第一个部分是关于一维、二维Green-Naghdi方程的保正且保平衡中心间断伽辽金（CDG）-有限元方法,Green-Naghdi方程是欧拉方程基于浅水假设下的近似模型,是一类非线性的弱色散浅水波方程。第二个部分是关于二维非线性浅水波方程与泥沙输移方程的耦合系统的保正且保平衡中心间断伽辽金方法,该耦合系统可用于研究可蚀河床上的浅水流动问题。第三个部分是关于变密度不可压缩Navier-Stokes方程的高阶保界间断伽辽金-有限元方法。数值上求解Green-Naghdi方程通常会面临三个问题。一是该模型的通量和源项中包含有对时间与空间的混合导数。二是该模型与非线性浅水波方程一样,拥有静水稳定解,对于该稳定解,方程的通量非零,可是被源项所平衡,而且通常的数值方法并不能保持通量与源项的平衡,所以当遇到与稳定解相关的问题时可能会产生数值震荡。三是当问题涉及到干区域或者几乎干的区域时,随着水波的运动,数值方法会产生负的水深。为了克服以上问题,我们首先将Green-Naghdi方程改写为一个平衡律和一个椭圆型方程的耦合系统,从而消除了通量与源项中时间与空间的混合导数。然后分别提出了一个保平衡的中心间断伽辽金-有限元方法和一个保正（水深非负）的中心间断伽辽金-有限元方法,前者用于保持通量与源项的平衡,后者用于保持水深的非负性。最后,我们提出了一个保正且保平衡的中心间断伽辽金-有限元方法,用于同时保持通量与源项的平衡以及水深的非负性。数值上求解二维非线性浅水波方程与泥沙输移方程的耦合系统依然会面临两个问题。一是静水稳定解的问题,二是体积含沙量的非负性问题。因此,我们首先提出了一个保平衡的中心间断伽辽金方法用于保持通量与源项的平衡,然后提出了一个保正的中心间断伽辽金方法用于保持体积含沙量的非负性。数值求解变密度的不可压缩Navier-Stokes方程的时候,往往需要保持密度的上下界,尤其是涉及到高密度比的问题。要想设计这种保界的高阶精度数值格式,可以采用带有保界限制器的高阶间断伽辽金方法或者有限体积方法去离散密度方程,采用任意别的流行的数值方去离散动量方程和压力方程。我们将使用间断伽辽金方法和有限元方法的一个结合,具体地说,就是用间断伽辽金方法去离散密度方程,用有限元方法去离散动量方程和压力方程。
刘晓艳[3]（2020）在《基于器官图像重构中的径向基无网格方法应用研究》文中指出近几年,医学图像的三维重建及可视化的研究日益增多,具有重要的学术意义和应用价值。华盛顿大学医学院在研究人体器官成像的过程中使用了无网格方法中的基本解方法（MFS）,并在临床实验中取得了显着的效果。前期已经通过在人体表面分布电极采样心脏数据,得到三维心脏图像,可及时发现心脏异常。他们现在研究孕妇早产预防,如果使用相同的技术也可以得到子宫的三维图像,检测胎儿的异常情况,但存在对胎儿构成伤害的风险,故希望尽量减少辐射,同时降低成本,并只在孕妇腹部位置采集表面数据,最终能够呈现完整子宫的三维图像。基于这个问题,本研究进行了数值实验的可行性探索。我们提出了一种基于离散数据点的偏微分方程三维隐式表面重构算法。采用径向基函数（RBF）近似特解法（MAPS）求解具有常Dirichlet边界条件的修正Helmholtz或Poisson方程。当某一区域的数据点丢失时,我们还考虑修复表面,并研究了表面重构最佳参数的选择。最后我们将研究对象扩展到不规则复杂表面的情况,通过构造特殊内部点作为辅助计算,高效重构了复杂表面。本研究的主要内容和结果如下:（1）给出了Helmholtz型偏微分方程的闭型特殊解。在图像重构中用到的MAPS方法需要相关算子对应径向基函数的特解。本文给出了Helmholtz型偏微分方程的闭型特殊解,这些都是使用Matern函数显式导出的,这种特殊解的推导进一步推广到二维和三维Helmholtz型算子的乘积情形。主要思想是将特殊解的推导与相关微分算子已知的基本解联系起来,利用新导出的特殊解,求解Helmholtz型方程的边值问题。采用留一交叉验证（LOOCV）算法为Matern基函数选择合适的形参。同时为避免MAPS数据量较大时可能产生病态稠密矩阵,我们使用了局部MAPS（LMAPS）,并检验了两种方法的有效性。（2）提出了一种基于偏微分方程的三维隐式表面重建算法。本研究提出通过求解具有常Dirichlet边界条件（=1）的非齐次修正Helmholtz方程,重建由一组点数据定义的三维曲面。MAPS由于其有效性和简单性,被选择为数值方法。我们提出的PDE模型是非齐次的,需要内部配置点,而这些内部点很容易得到。此外,我们还发现对简单图像内部点的数目和位置对曲面的重建影响不大。在我们的模型中,只需要几个内部点就足够了。适当选择PDE强迫项1)(（3）,PDE的解的值将在>1的区域外继续扩展。由于<1在区域内,>1在区域外,且PDE的解是连续的,因此存在解=1,这就是给定区域的曲面。因此,可以通过在包含区域的边界框中找到=1的所有点来识别隐式曲面。（3）器官图像的重构和修复。扫描装置可以方便地获取腹部的数据点。由于子宫位于腹部内,数据点很难获得,如果由腹部点推测子宫数据点,很大一部分数据点是不可用的,使用不完整的数据直接重构会导致顶部和底部的截面。在子宫顶部和底部添加两个增广点后,我们可以恢复大部分缺失的表面。如果是子宫一侧的数据点丢失,重构时会出现一个大洞。为了修补这个洞,我们选择了在=0.98的水平面上用PDE求解而不是=1的等高面。孔洞消失了,但整体表面略有缩小。牙齿的重构实验让我们知道内部点选取的重要性。（4）不规则复杂图像的重构。这是一个具有挑战性的问题,我们选择斯坦福兔子、手、头、龙这些表面凹凸并包含尖锐顶点的图像作为实验对象。由于是全局方法,结果矩阵是稠密的,我们只能处理有限数量的数据点。重构过程中需要选择一些特殊的内部点:一种方法是随机选择边界点,并将法线向内施加以生成这些内部点;另一种方法是利用“3D范式和曲率”估计稀疏三维点的法线,我们将使用这些法线来生成内部点。在凹凸性较大的位置提取多的内部点,并将PDE中的参数λ设置较大的值,可有效完成图像重构,否则重构的图像就会出现伪表面。综上所述,使用本课题提出的隐式表面重建算法,可有效重构各类型区域,在三维曲面重构中发挥作用。
宋义鑫[4]（2020）在《无网格法的理论研究及其在Helmholtz方程和癌细胞扩散方程中的应用》文中研究说明无网格法是一种基于节点的近似,可以彻底或部分地消除网格,克服了有限元法在形成函数近似时需要预先划分网格的不足。无网格Galerkin法是近十几年新兴起的一种数值计算方法,这种方法在处理数据时,不需要划分单元和剖分网格,简化了部分的数据处理,在某些方面提高了计算速度,并可以解决一些有限元法所不能较好解决的问题。首先,在本文的第一章中详细介绍了无网格法的发展进程以及国内外研究现状,并对Helmholtz方程和癌细胞扩散方程进行了简要介绍。其次,在第二章中对无网格法的基本理论和近似方法给出详细的阐述,并对处理方程的基本过程和基本方法进行了详细介绍。最后,在第三章和第四章中对无网格Galerkin法进行了研究。无网格Galerkin法一般都用于固体力学方面的数值分析,在这里我们将无网格Galerkin法对Helmholtz方程和癌细胞扩散方程进行离散和数值模拟。通过数值算例计算了该方法对两类偏微分方程的数值精度,并与其他方法进行了对比,可看出该方法具有较好的适应性。即在对Helmholtz问题和癌细胞扩散问题中是适用的,并且有着很好的应用前景。
张涛[5]（2019）在《无单元Galerkin方法的理论及其在流体问题中的应用》文中指出无网格方法是近年来迅速发展起来的一种基于节点而不是网格的新型数值方法,是当前数值方法研究的热点之一。众所周知,无网格方法的数学理论并不完善,这在一定程度上限制了其发展与应用。本文针对无单元Galerkin方法求解二阶椭圆混合边值问题和不可压缩流体问题进行了理论分析和数值应用,具体研究工作如下:首先,研究了求解二阶椭圆混合边值问题的无单元Galerkin方法的先验近似估计。通过使用罚方法施加Dirichlet边界条件,严格论证了加罚二阶椭圆混合边值问题对应的Galerkin变分问题解的存在唯一性。基于移动最小二乘近似在Sobolev空间的误差估计,研究了二阶椭圆混合边值问题的无单元Galerkin方法的H1和2L误差估计。误差结果表明,未知变量的H1和2L误差估计与基函数的选取,节点间距和罚因子相关。其次,研究了定常Stokes问题与加罚定常Stokes问题的先验近似估计,证明了加罚定常Stokes问题对应的Galerkin变分问题解的存在唯一性,并论证了加罚定常Stokes问题的非标准无单元Galerkin方法离散解的存在唯一性。同样地,借助移动最小二乘近似的误差估计,分析了速度和压力的误差估计。误差结果表明,速度和压力的误差估计与基函数的选取,节点间距和罚因子相关。然后,借鉴广义有限元方法（Generalized Finite Element Method,GFEM）的基本思想,发展了广义无单元Glerkin（Generalized Element-Free Galerkin,GEFG）方法,并求解了定常Stokes问题。对比分析表明,在变分多尺度的框架中,GEFG与变分多尺度无单元Glerkin（Variational Multiscale Element-Free Galerkin,VMEFG）方法是相似的,但在实际问题中前者更合理,并且前者的离散形式更简单、更直接。数值实验显示,该方法具有较高的计算效率和精度。最后,发展了插值型变分多尺度无单元Galerkin（Variational Multiscale Interpolating Element-Free Galerkin,VMIEFG）方法,并求解了Darcy-Forchheimer模型和广义Oseen问题。该方法分别选择了插值移动最小二乘方法和移动Kriging插值（Moving Kriging Interpolation,MKI）来构造无网格形函数。该方法的基本思想是速度及其权函数可分解为粗尺度和细尺度。通过解析地求解细尺度问题,稳定化参数可以自然地出现。VMIEFG方法允许速度和压力选取等阶基函数,即标准无单元Galerkin方法可以使用,从而编程很容易实现。数值实验表明,该方法具有很好的稳定性和数值精度。
贺志赟[6]（2019）在《基于混合摄动-伽辽金法的随机杆系结构几何非线性分析》文中提出在实际工程结构的仿真分析中存在着诸多不确定性,如材料特性、元件尺寸、结构边界及荷载的不确定性。这些不确定性将对结构的荷载响应分析产生不可忽视的影响。特别是,当考虑结构的几何非线性效应时,这种影响会更大。针对参数不确定性结构的几何非线性静力响应问题,国内外学者提出了多种随机有限元求解方法,如摄动随机有限元法、谱随机有限元法等。基于摄动思想的随机有限元法是求解随机结构几何非线性问题的一种重要方法,但当结构的随机参数的变异性增大时,采用低阶摄动甚至高阶摄动得到的结构随机响应的计算精度会下降。为提高摄动法的收敛范围和求解精度,本文利用课题组提出的混合摄动-伽辽金法（Hybrid Perturbation-Galerkin Methods）来求解几何非线性随机结构的静力响应。具体内容如下:1.介绍了递推摄动有限元法。将结构的弹性模量假定为随机场,采用非正交多项式展开进行离散。非线性随机结构的位移响应、与位移相关的Green应变的非线性部分均采用含待定系数的幂多项式展开,推导了含随机变量的静力平衡方程。利用摄动法,得到了非线性随机结构静力响应的显式表达式。将递推摄动法的前四阶结果与蒙特卡洛法模拟的结果对比说明了递推摄动法的计算精度和有效性。2.介绍了混合摄动-伽辽金法。在摄动法求解得到随机结构位移响应的幂多项式的基础上,构建伽辽金试函数。通过伽辽金投影技术,对试函数系数进行求解,从而得到随机结构位移响应的显式表达式。3.采用混合摄动-伽辽金法求解几何非线性随机杆系结构的响应。将含位移项的割线弹性模量以及随机响应表示为幂多项式展开,利用高阶摄动方法确定随机结构几何非线性响应的幂多项式展开的各项系数。将随机响应的各阶摄动项假定为伽辽金试函数,运用伽辽金投影对试函数系数进行求解,从而得到随机杆系结构几何非线性响应的显式表达式。数值结果表明,当随机变量的变异系数增大时,混合摄动-伽辽金法计算所得的结构响应各阶统计矩比高阶摄动法结果更逼近蒙特卡洛模拟结果。
张婷[7]（2019）在《径向基函数重构核粒子法的研究及应用》文中研究指明无网格方法处理问题过程中,不需划分网格,也不需要表征节点信息,处理方便;它是近几十年发展起来的新的数值模拟方法,目前已经成为工程和科学问题中解决数值分析问题的有力工具。重构核粒子法是无网格方法中的一种,目前发展相对成熟,在数值分析中得到广泛的应用。但是重构核粒子法在计算过程中会因为取不同的核函数而降低计算精度,针对此项缺点,在重构核粒子法中引入了径向基函数项,提出了径向基函数重构核粒子法,并将此方法应用于求解势问题和力-电耦合问题。本文在重构核粒子法的基础上引入了径向基函数,提出了径向基函数重构核粒子法并推到了相应的公式。与重构核粒子法相比,径向基函数重构核粒子法的优点是在构造近似函数过程中,使用问题域上所有的节点构造重构核函数,使用问题域内部节点构造径向基函数。这种方法在处理内部问题时,可以提高计算精度。本文将径向基函数重构核粒子法应用于求解势问题,建立了势问题的径向基函数重构核粒子法,推导了相应的计算公式。该方法处理势问题时,可以使数值结果快速收敛,提高了计算精度。本文将径向基函数重构核粒子法应用于力-电耦合问题的求解,对其控制方程离散时采用了配点法,构造了力-电耦合问题的径向基函数重构核粒子法,推导出相应的计算公式。与重构核粒子法相比,能够提高问题域内部的计算精度。
陆洋春[8]（2019）在《高阶/扩展有限元法在二维断裂问题中的应用研究》文中认为p型和h-p型有限元法的数学理论已经完整建立,为p型和h-p型有限元法的数值模拟提供了坚实的理论基础。同时,p型和h-p型有限元法不仅能够有效地提高数值解的收敛速度,还能保证数值计算的精度。p型和h-p型有限元在数学方面的研究内容较为丰富,然而,相比经典的h型有限元法,p型和h-p型有限元法在工程实际中的应用研究相对较少,特别是在断裂力学领域的应用研究就更少。值得注意的是,p型、h-p型有限元法的收敛速率明显优于经典的h型有限元法。在一些问题中,如奇异性问题,可以得到指数级的收敛速率。断裂问题是典型的奇异（线弹性断裂）或高梯度（粘性或韧性断裂）问题,采用p型和h-p型有限元法能更加高效的处理这类问题。本文主要研究了p型有限元法在二维断裂问题中的应用,分为以下两个部分:首先,将p型有限元法应用于模拟几个经典的裂纹开裂问题,分析不同尺寸、不同角度以及应力集中区域中的裂纹。采用p型有限元法模拟裂纹开裂,并根据得到的位移场和应力场结合围线积分法导出复合型应力强度因子。采用较少的网格,通过合理地划分网格可以在较低的自由度下获得较高的精度。采用相近的网格参数,裂纹在不同尺寸、不同角度以及在应力集中区域的不同位置上,得到的数值解都表现出较高的精度和良好的数值稳定性。在斜裂纹模型中,对比了文献中采用在裂纹尖端富集了高阶渐近位移解的扩展有限元法导出的结果,文中的结果精度高且误差波动较小。其次,由于阶谱形状函数是多项式结构的,其逼近空间的性质是连续且光滑的。在处理不连续问题时,需要网格与不连续几何保持一致。为了能够使得在模拟不连续演变时无需重新划分网格来适应不连续的界面,节约计算成本,文中结合了时下处理不连续问题非常流行的扩展有限元法,在二维四边形阶谱单元中扩充了富集阶跃函数的不连续项。新的四边形阶谱单元实现了在单元内部描述不连续的界面,同时保留了p型有限元法能够通过提升插值多项式阶次提高计算精度的能力。结果表明,p型有限元法处理断裂问题时网格划分少、精度高、数值稳定性强。结合了扩展有限元法的p型有限元法在处理不连续问题时继承了两者的优点,具有很好的研究前景和应用价值。
宋敏[9]（2019）在《带参数椭圆型方程的的等几何分析及POD模型降阶研究》文中指出等几何分析方法是在有限元方法的基础上,为了实现CAD与CAE无缝连接,提出的一种新的以样条理论为基础的数值计算方法。等几何方法将用于计算域精确几何表示的样条函数作为试探函数空间的基函数,不仅省略了网格划分过程,实现了计算域的精确表示,还因为基函数的高阶连续性在近似光滑解方面相比有限元方法有显着的优势。基于伽辽金投影的特征正交分解方法是生成具有非常大甚至无限维相空间的动力系统的低维模型的一种强有力的方法。本文主要研究了将等几何分析方法与特征正交分解方法结合,对线性以及半线性的椭圆型方程进行模型降阶。首先介绍了等几何分析方法和特征正交分解方法的研究意义以及研究现状,回顾了B样条和NURBS样条、牛顿迭代法的基本知识以及一些研究中需要的定义和定理。围绕具有Neumann边界条件的二阶半线性椭圆型方程,研究等几何分析的思想及过程,包括变分问题的推导,变分问题解存在唯一的充分条件,等几何空间离散以及引入的等几何空间离散误差。对于伽辽金方法得到的非线性方程组,我们结合牛顿迭代法,研究了方程组求解涉及到的矩阵元素计算,完成了非线性椭圆方程等几何分析的数值求解程序。讨论了离散特征正交分解方法,基于等几何方法得到的数值解的表示形式,提出了计算特征正交分解基函数的数值算法。然后使用得到的特征正交分解基函数作为构建降阶模型的基,得到规模更小的非线性方程组,并给出降阶模型的解和等几何全阶模型的解之间的误差估计。通过线性与半线性的数值例子表明了基于等几何分析的特征正交分解方法降维的有效性,并验证了给出的误差估计的正确性。
方小姣[10]（2019）在《基于谱元法的大地电磁二维数值模拟》文中研究指明大地电磁法（又称为大地电磁测深法,简称MT）是以天然交变电磁场为场源的一种探测地下电性结构的地球物理勘探方法,在能源勘探、矿产普查、地质调查、地震预报和工程地质等领域有着广泛的应用。近年来随着数值算法的进步、数据采集系统的提高和高性能计算机的迅速发展,大大促进了电磁法数值模拟技术的发展,出现了多种高效的数值算法,有效提高了数值模拟的速度和精度。其中谱元法作为一种新的数值方法在近十几年来得到快速发展,为了提高大地电磁数值模拟的精度和效率,本文将谱元法引入到大地电磁测深领域当中。谱元法是有限元和谱方法结合的一种数值模拟方法,具备有限元法处理复杂结构模型的灵活性及谱方法的高精度和指数收敛性,使得谱元法在流体力学、动力学、声学和地震波场等领域得到广泛的应用。近几年来,谱元法已实现了在海洋可控源电磁的数值模拟,但还未有学者将谱元法应用到大地电磁领域的数值模拟,因此本文将谱元法应用于大地电磁二维正演模拟当中。本文介绍了谱元法的理论基础,从频率域的麦克斯韦方程组出发,详细推导了MT二维正演的所满足的偏微分方程和二维介质大地电磁场所满足的边值问题,基于Galerkin加权余量法,在求解域内采用矩形单元进行剖分,单元内对未知量（电磁场值）在插值节点处插值基函数选用Gauss-Lobatto-Legendre（GLL）正交多项式,采用GLL数值积分最后形成大型线性方程组,用Intel的Pardiso求解器直接求解线性方程组得到电磁场分布,实现了大地电磁二维谱元法模拟。为了检验本文算法和程序的可靠性,在FORTRAN平台上开发了二维大地电磁谱元法正演程序,并给出层状模型和国际标准COMMEMI 2D-1模型进行对比验证,数值模拟结果表明了本文编写谱元算法程序的可靠性和稳定性。此外还计算了两个低阻异常模型和起伏地形模型,并讨论了地形模型对MT二维正演模拟的影响。
二、求解椭圆型偏微分方程边值问题的无网格伽辽金方法（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、求解椭圆型偏微分方程边值问题的无网格伽辽金方法（论文提纲范文）
（1）基于小波积分配点法求解矩形板大挠度弯曲问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 小波理论的起源与发展 |
| 1.3 小波在数值计算中的应用 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第二章 小波数值分析的基础理论 |
| 2.1 多分辨分析和Coiflet小波基的构建 |
| 2.1.1 多分辨分析基础 |
| 2.1.2 Coiflet小波基的构造 |
| 2.2 有界区间上L~2函数的Coiflet小波逼近 |
| 2.3 本章总结 |
| 第三章 高维小波积分配点法 |
| 3.1 高维小波积分配点格式 |
| 3.2 非线性边值问题的误差分析 |
| 3.3 本章总结 |
| 第四章 非线性边值问题中的应用 |
| 4.1 类泊松方程的数值分析 |
| 4.1.1 二维Poisson方程 |
| 4.1.2 三维Poisson方程 |
| 4.2 矩形板的大挠度弯曲问题 |
| 4.2.1 控制方程的代数离散格式 |
| 4.2.2 数值计算结果与讨论 |
| 4.2.3 有限元软件失真分析 |
| 4.3 本章总结 |
| 第五章 结束语 |
| 参考文献 |
| 附录 A 尺度函数在整数点的积分值 |
| 附录 B 计算尺度基函数所需的系数值 |
| 附录 C 三维边值问题的小波积分配点格式 |
| 附录 D 非线性偏微分方程各偏导项推导过程 |
| 致谢 |
（2）一些流体力学方程的保结构间断伽辽金方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 Green-Naghdi方程的研究现状 |
| 1.3 可蚀河床上浅水流动问题的研究现状 |
| 1.4 变密度不可压缩Navier-Stokes方程的研究现状 |
| 1.5 中心间断伽辽金方法的研究现状 |
| 1.6 本文的主要工作 |
| 2 Green-Naghdi方程的中心间断伽辽金-有限元方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 Green-Naghdi方程 |
| 2.2.1 一维Green-Naghdi方程 |
| 2.2.2 二维Green-Naghdi方程 |
| 2.2.3 改进的Green-Naghdi方程 |
| 2.3 Green-Naghdi方程的数值方法 |
| 2.3.1 Green-Naghdi方程的改写 |
| 2.3.2 线性色散分析 |
| 2.3.3 一维Green-Naghdi方程的数值方法 |
| 2.3.4 二维Green-Naghdi方程的数值方法 |
| 2.3.5 高阶时间离散方法与非线性限制器 |
| 2.3.6 线性稳定性 |
| 2.4 数值算例 |
| 2.4.1 算例1:CDG-FEM的精度测试 |
| 2.4.2 算例2:PPWBCDG-FEM的静水解测试 |
| 2.4.3 算例3:水坝上的调和波 |
| 2.4.4 算例4:复合海滩上的孤立波 |
| 2.4.5 算例5:越过海堤的孤立波 |
| 2.4.6 算例6:月牙形波 |
| 2.4.7 算例7:圆锥形岛周围的孤立波 |
| 2.5 本章小结 |
| 3 可蚀河床上浅水流动问题的中心间断伽辽金方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 数学方程 |
| 3.3 数值方法 |
| 3.3.1 标准中心间断伽辽金方法 |
| 3.3.2 保平衡的中心间断伽辽金方法 |
| 3.3.3 体积含沙量的非负性 |
| 3.3.4 高阶时间离散方法与非线性限制器 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.4.1 保平衡测试 |
| 3.4.2 一个稳定解的扰动 |
| 3.4.3 可蚀河床上长河道溃坝问题 |
| 3.4.4 移动河床局部溃坝问题 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 变密度不可压缩Navier-Stokes方程的高阶保界方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 数学方程 |
| 4.3 数值方法 |
| 4.3.1 密度方程的高阶精度间断伽辽金方法 |
| 4.3.2 密度方程的高阶精度保界间断伽辽金方法 |
| 4.3.3 一个简单的保界限制器 |
| 4.3.4 速度和压力方程的有限元方法 |
| 4.3.5 流函数 |
| 4.3.6 高阶时间离散方法 |
| 4.4 数值算例 |
| 4.4.1 算例1:精度测试 |
| 4.4.2 算例2:Rayleigh-Taylor不稳定性 |
| 4.4.3 算例3:下落的液滴 |
| 4.4.4 算例4:上升气泡试验 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| A.作者在攻读博士学位期间已发表和接收的论文 |
| B.作者在攻读博士学位期间已提交或在准备中的论文 |
| C.作者在攻读博士学位期间参加的学术交流与学术会议 |
| D.作者在攻读博士学位期间参加的科研项目 |
| E.学位论文数据集 |
| 致谢 |
（3）基于器官图像重构中的径向基无网格方法应用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 器官成像研究现状 |
| 1.2.2 无网格方法研究现状 |
| 1.3 本文主要研究内容 |
| 2 径向基无网格方法 |
| 2.1 径向基插值 |
| 2.1.1 插值基函数 |
| 2.1.2 稳定性分析 |
| 2.1.3 留一法交叉验证(LOOCV) |
| 2.2 Kansa方法 |
| 2.3 近似特解法(MAPS) |
| 2.4 局部近似特解法(LMAPS) |
| 2.4.1 确定各配置点的近邻域 |
| 2.4.2 求各配置点处数值解的局部表达式 |
| 2.4.3 求各配置点处数值解的全局表达式 |
| 2.4.4 简单例子 |
| 2.5 基本解方法(MFS) |
| 2.6 本章小结 |
| 3 基于Matern核函数推导Helmholtz型方程的特解 |
| 3.1 二维Helmholtz型偏微分方程的特解 |
| 3.2 三维Helmholtz型偏微分方程的特解 |
| 3.3 Helmholtz型算子乘积的特殊解 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 求解2D情况下的修正Helmholtz方程边值问题 |
| 3.4.2 求解3D情况下的修正Helmholtz方程边值问题 |
| 3.4.3 2D情况下具有两个边界条件的复合Helmholtz方程 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 基于无网格方法的PDEs图像重构 |
| 4.1 隐式曲面的PDEs识别 |
| 4.2 MAPS求解隐式曲面的步骤 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.3.1 简单3D图像的表面重构 |
| 4.3.2 简单器官图像的重构和修复 |
| 4.3.3 不规则复杂器官图像重构 |
| 4.3.4 大规模数据不规则图像重构 |
| 4.4 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 附录1 程序 |
| 附录2 公式 |
| 2.1 不同RBFS的各个算子下的特解 |
| 2.2 不同微分算子下的基本解 |
| 2.3 符号说明 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
（4）无网格法的理论研究及其在Helmholtz方程和癌细胞扩散方程中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 传统数值模拟方法简介 |
| 1.1.1 有限元法 |
| 1.1.2 有限差分法 |
| 1.1.3 边界元法 |
| 1.2 无网格法的历史与发展 |
| 1.3 Helmholtz方程与癌细胞扩散方程的简介 |
| 1.3.1 Helmholtz方程的简介 |
| 1.3.2 癌细胞扩散方程的简介 |
| 1.4 本文主要研究内容 |
| 第2章 无网格的基本理论和方法 |
| 2.1 无网格法的定义与基本求解过程 |
| 2.2 无网格法形函数的近似方法 |
| 2.2.1 光滑粒子流体动力学法(SPH) |
| 2.2.2 Kriging插值法 |
| 2.2.3 点插值法 |
| 2.3 无网格法的边界处理方法 |
| 2.3.1 拉格朗日乘子法 |
| 2.3.2 位移约束方程法 |
| 2.3.3 罚函数法 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 无网格Galerkin法求解Helmholtz方程 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 移动最小二乘近似(MLS) |
| 3.3 Helmholtz方程的离散格式 |
| 3.4 数值模拟 |
| 3.4.1 一维Helmholtz方程 |
| 3.4.2 二维Helmholtz方程 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 无网格Galerkin法求解癌细胞扩散方程 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 癌细胞扩散方程的离散格式 |
| 4.3 数值模拟 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的论文及其它成果 |
| 致谢 |
（5）无单元Galerkin方法的理论及其在流体问题中的应用（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 1 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 无网格方法在流体力学中的进展 |
| 1.2.1 基于强配点的无网格方法 |
| 1.2.2 基于全局Galerkin弱式的无网格方法 |
| 1.2.3 基于全局Petrov-Galerkin弱式的无网格方法 |
| 1.2.4 基于BIE、LSM和 MWS的无网格方法 |
| 1.3 无网格方法数学理论的进展 |
| 1.4 无网格方法的优势和不足 |
| 1.5 本文的主要工作 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 Sobolev空间 |
| 2.3 移动最小二乘近似的基本原理和误差估计 |
| 2.4 无单元Galekrin方法的数值积分方案 |
| 2.5 无网格方法中Dirichlet边界条件的处理 |
| 2.6 本章小结 |
| 3 二阶椭圆混合边值问题的无单元Galerkin方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 二阶椭圆混合边值问题 |
| 3.3 加罚二阶椭圆混合边值问题 |
| 3.4 无单元Galerkin方法 |
| 3.4.1 误差估计 |
| 3.4.2 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 定常Stokes问题的非标准无单元Galerkin方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 定常Stokes问题 |
| 4.3 加罚定常Stokes问题 |
| 4.4 非标准无单元Galerkin方法 |
| 4.4.1 误差估计 |
| 4.4.2 数值实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 定常Stokes问题的广义无单元Galerkin方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 广义无单元Galerkin方法的试函数 |
| 5.3 定常Stokes问题的广义无单元Galerkin方法 |
| 5.4 GEFG方法和VMEFG方法的联系 |
| 5.5 数值实验 |
| 5.6 本章小结 |
| 6 插值型变分多尺度无单元Galerkin方法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 Darcy-Forchheimer模型 |
| 6.2.1 插值移动最小二乘方法 |
| 6.2.2 Darcy-Forchheimer模型的变分形式 |
| 6.2.3 多尺度分解 |
| 6.2.4 求解线性化细尺度问题 |
| 6.2.5 求解粗细度问题 |
| 6.2.6 通量边界条件的处理 |
| 6.2.7 离散化和数值实现 |
| 6.2.8 数值实验 |
| 6.3 广义Oseen问题 |
| 6.3.1 移动Kriging插值方法 |
| 6.3.2 广义Oseen问题的变分形式 |
| 6.3.3 多尺度分解 |
| 6.3.4 求解细尺度问题 |
| 6.3.5 求解粗尺度问题 |
| 6.3.6 离散化和数值实现 |
| 6.3.7 数值实验 |
| 6.4 本章小结 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| A 作者在攻读博士学位期间发表的论文目录 |
| B 作者在攻读博士学位期间已投稿和正在准备的论文目录 |
| C 学位论文数据集 |
| 致谢 |
（6）基于混合摄动-伽辽金法的随机杆系结构几何非线性分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 结构可靠度研究方法简述 |
| 1.2.2 随机有限元法国内外研究现状 |
| 1.3 本文的主要研究内容 |
| 第2章 几何非线性有限元理论 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 几何非线性分析 |
| 2.2.1 大变形下的应变度量 |
| 2.2.2 大变形下的应力度量 |
| 2.3 大变形情况下的本构方程 |
| 2.4 几何非线性有限元方程 |
| 2.4.1 B矩阵推导 |
| 2.4.2 几何非线性有限元系统的平衡方程 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 随机桁架结构的递推摄动有限元求解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 概率论基础 |
| 3.2.1 随机变量及随机向量 |
| 3.2.2 随机变量的数字特征 |
| 3.3 随机过程 |
| 3.4 随机场 |
| 3.4.1 随机场的概念 |
| 3.4.2 随机场的抽象离散 |
| 3.4.3 随机场的空间离散 |
| 3.5 几何非线性的递推随机有限元解法 |
| 3.5.1 随机静力平衡方程 |
| 3.5.2 随机场的非正交多项式展开 |
| 3.5.3 递推摄动求解 |
| 3.5.4 算例分析 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 随机桁架结构的混合摄动伽辽金解法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 混合摄动伽辽金法 |
| 4.3 混合摄动伽辽金法求解几何非线性问题 |
| 4.3.1 伽辽金试函数确定 |
| 4.3.2 随机量的重新表达 |
| 4.3.3 伽辽金投影 |
| 4.4 算例分析 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 结论与展望 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表的论文 |
（7）径向基函数重构核粒子法的研究及应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 目前研究存在的问题 |
| 1.4 本文的主要内容及创新 |
| 第2章 径向基函数重构核粒子法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 重构核粒子法 |
| 2.2.1 光滑粒子法的核近似 |
| 2.2.2 重构核粒子法的核近似 |
| 2.2.3 重构核粒子法的重构条件 |
| 2.2.4 离散的重构核近似 |
| 2.2.5 重构核粒子法的形函数 |
| 2.3 径向基函数重构核粒子法 |
| 2.4 核函数的选取 |
| 2.4.1 核函数的选取原则 |
| 2.4.2 核函数几种常见的类型 |
| 2.4.3 核函数的计算 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 势问题的径向基函数重构核粒子法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 势问题的积分弱形式 |
| 3.3 算法实施流程 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.4.1 矩形域上的Laplace方程 |
| 3.4.2 圆域上的稳态温度场 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 力-电耦合问题的径向基函数重构核粒子法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 压电材料的控制方程 |
| 4.3 压电材料的控制方程的离散 |
| 4.4 算法实施流程 |
| 4.5 数值算例 |
| 4.5.1 力电耦合作用下的复合悬臂梁 |
| 4.5.2 力电耦合作用下的双压电晶片悬臂梁 |
| 4.5.3 力电耦合作用下的压电片 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 结论与展望 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间主要科研成果 |
（8）高阶/扩展有限元法在二维断裂问题中的应用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 p型有限元法在断裂力学中的应用与研究 |
| 1.2.2 高阶XFEM有限元的发展 |
| 1.3 本文主要研究工作 |
| 第二章 p型、h-p型有限元法 |
| 2.1 p型、h-p型有限元法 |
| 2.1.1 理论发展 |
| 2.1.2 p型、h-p型有限元实现 |
| 2.1.3 p型、h-p型有限元法的应用 |
| 2.2 弹性力学的基本公式 |
| 2.3 有限元空间 |
| 2.3.1 二维标准单元 |
| 2.3.2 标准多项式空间 |
| 2.3.3 形状函数 |
| 2.3.4 二维映射函数 |
| 第三章 扩展有限元法 |
| 3.1 扩展有限元法 |
| 3.1.1 前言 |
| 3.1.2 扩展有限元法发展及应用 |
| 3.2 不连续体的控制方程 |
| 3.2.1 不连续问题的散度定理 |
| 3.2.2 控制方程的弱形式 |
| 3.3 控制方程的XFEM离散 |
| 3.3.1 扩充项 |
| 3.3.2 离散方程 |
| 3.3.3 界面的描述 |
| 3.3.4 积分 |
| 第四章 数值算例 |
| 4.1 前言 |
| 4.2 围线积分法 |
| 4.2.1 导出应力强度因子 |
| 4.2.2 围线积分法 |
| 4.3 p型有限元法求解复合型应力强度因子 |
| 4.3.1 边缘裂纹 |
| 4.3.2 中心斜裂纹 |
| 4.3.3 接近圆孔的裂纹 |
| 4.4 高阶扩展有限元法求解应力强度因子 |
| 4.4.1 形状函数的构造 |
| 4.4.2 阶谱型XFEM的数值实现 |
| 4.4.3 算例 |
| 第五章 结论与展望 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 A 扩充阶跃函数富集项的二维阶谱单元代码 |
| 附录 B 攻读学位期间发表的学术成果 |
| 附录 C 攻读学位期间参与的科研项目 |
（9）带参数椭圆型方程的的等几何分析及POD模型降阶研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 等几何分析 |
| 1.3 特征正交分解 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.4.1 B样条和NURBS |
| 1.4.2 Newton迭代法 |
| 1.4.3 一些相关的定义和定理 |
| 1.5 本文研究内容 |
| 2 带参数椭圆型方程的等几何分析法 |
| 2.1 带参数椭圆型方程 |
| 2.1.1 问题定义 |
| 2.1.2 变分问题 |
| 2.1.3 变分问题解的存在唯一性 |
| 2.2 等几何离散 |
| 2.2.1 等几何计算域离散 |
| 2.2.2 等几何解空间离散 |
| 2.2.3 等几何法误差估计 |
| 2.3 方程组数值求解 |
| 3 POD模型降阶和误差分析 |
| 3.1 POD基函数求解 |
| 3.1.1 离散POD方法 |
| 3.1.2 数值求解方法 |
| 3.2 POD降阶模型 |
| 3.2.1 POD降阶模型构建 |
| 3.2.2 POD降阶模型求解 |
| 3.3 POD模型误差分析 |
| 4 数值例子 |
| 4.1 稳态线性对流扩散方程 |
| 4.2 半线性椭圆型方程 |
| 5 总结 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
（10）基于谱元法的大地电磁二维数值模拟（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题背景及研究意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 大地电磁法正演问题研究进展 |
| 1.2.2 谱元法在电磁领域的研究进展 |
| 1.3 本文研究的方法及结构纲要 |
| 第2章 谱元法理论基础 |
| 2.1 正交多项式 |
| 2.2 Chebyshev正交多项式 |
| 2.3 Legendre正交多项式 |
| 2.4 Fourier展开 |
| 第3章 基于谱元法的大地电磁法的正演理论 |
| 3.1 大地电磁正演理论 |
| 3.1.1 控制方程及边界条件 |
| 3.1.2 Galerkin法求解MT边值问题 |
| 3.2 构造谱元空间及基函数 |
| 3.2.1 网格剖分及映射关系 |
| 3.2.2 构造二维空间基函数 |
| 3.3 微分方程的离散形式求解 |
| 3.4 边界条件的施加 |
| 3.5 视电阻率及相位的计算 |
| 3.6 线性方程组的求解技术 |
| 3.6.1 迭代法 |
| 3.6.2 直接法 |
| 3.7 压缩存储技术 |
| 3.8 谱元法程序在MT的实现过程 |
| 第4章 数值算例 |
| 4.1 一维层状介质模型 |
| 4.2 国际标准模型COMMEMI2D-1 |
| 4.3 两个低阻异常体模型 |
| 4.4 起伏地形模型 |
| 4.4.1 地垒模型 |
| 4.4.2 地堑模型 |
| 第5章 结论及建议 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
四、求解椭圆型偏微分方程边值问题的无网格伽辽金方法（论文参考文献）
- [1]基于小波积分配点法求解矩形板大挠度弯曲问题[D]. 侯志春. 兰州大学, 2021(09)
- [2]一些流体力学方程的保结构间断伽辽金方法[D]. 程用平. 重庆大学, 2020(02)
- [3]基于器官图像重构中的径向基无网格方法应用研究[D]. 刘晓艳. 太原理工大学, 2020(07)
- [4]无网格法的理论研究及其在Helmholtz方程和癌细胞扩散方程中的应用[D]. 宋义鑫. 华北电力大学(北京), 2020(06)
- [5]无单元Galerkin方法的理论及其在流体问题中的应用[D]. 张涛. 重庆大学, 2019(09)
- [6]基于混合摄动-伽辽金法的随机杆系结构几何非线性分析[D]. 贺志赟. 武汉理工大学, 2019(07)
- [7]径向基函数重构核粒子法的研究及应用[D]. 张婷. 齐鲁工业大学, 2019(09)
- [8]高阶/扩展有限元法在二维断裂问题中的应用研究[D]. 陆洋春. 昆明理工大学, 2019(04)
- [9]带参数椭圆型方程的的等几何分析及POD模型降阶研究[D]. 宋敏. 浙江大学, 2019(05)
- [10]基于谱元法的大地电磁二维数值模拟[D]. 方小姣. 桂林理工大学, 2019(05)