一、在无界区域上拟线性散度型椭圆型方程的Dirichlet问题（论文文献综述）
彭英萍[1]（2021）在《带边无界区域上趋化-流体方程的整体适定性》文中指出半个多世纪以来,描述生物趋化现象的偏微分方程越来越受生物学家和数学家们的关注。考虑到趋化实验的条件设置和现实生活中的趋化背景,本文主要研究了趋化-流体耦合模型在带有边界的无界和有界区域上的初边值问题,具体研究内容如下:1.研究了三维带边无界区域上的趋化-Navier-Stokes耦合方程在Neumann-Neumann-Dirichlet边界条件下的初边值问题。首先利用各向异性的Lp插值不等式和常规的椭圆估计得到一些一致的先验估计,然后再根据连续性方法证明该系统的强解在一个常值平衡态（n∞,0,0）附近是整体存在并且唯一的,其中n∞为非负常数。对于该结果的证明,其关键之处在于对时间导数和空间导数所作的细致的估计,且所得结果与实验观察以及数值模拟的结果相一致。2.探究了三维带边无界区域上的趋化-Navier-Stokes耦合方程在混合边界条件下的初边值问题。首先借助各向异性的Lp插值不等式、椭圆估计和Stokes估计,利用连续性方法在常值平衡态（0,csatn,0）附近建立该系统强解的存在唯一性理论,其中csatn为流体中氧气的饱和值。然后利用De Giorgi技术和能量法证明得到该强解将会以一个确切的收敛速率收敛于常值平衡态（0,csatn,0）。本文对该模型所作的假设与趋化实验中的条件设置以及数值分析相一致,且更加贴近现实生活。研究这个问题的新颖之处在于推导出了一些新的椭圆估计和Stokes估计,并在使用De Giorgi方法时选择了一个合适的权值来处理混合边界条件。3.在边界光滑的三维有界区域上,研究了一类带有非线性扩散项△nm（m>0）和旋转灵敏度S（x,n,c）的Keller-Segel-Stokes耦合方程的初边值问题。在假设张量值灵敏度函数S（x,n,c）的Frobenius范数满足|S（x,n,c）|≤Cs（1+n）-α且m+2α>2以及m>3/4的情况下,通过寻找新的泛函并对相应的正则化方程运用bootstrap原理,建立了 Keller-Segel-Stokes系统对于任意大初值的弱解的整体存在性和有界性理论。由假设条件可看出,本文所得结果既涵盖了退化情形（m>1）,也包含了奇异情形（m<1）。
王胜[2]（2020）在《椭圆型方程外问题基于自然边界归化的区域分解法和自适应方法》文中研究说明偏微分方程外问题在科学与工程计算中具有广泛的应用,比如在电磁学、声学、流体力学、气体动力学等中都有其相应的数学模型,故外问题的数值方法一直是计算数学的重要研究方向。在保证数值解具有一定精度的要求下,克服由计算区域的无界性所导致的困难,往往是设计外问题数值方法的关键。针对求解外问题的数值解,近几十年来产生了诸多有效的方法,比如边界元法、边界元与有限元耦合法、人工边界方法、无限元方法、谱方法以及无界区域上的区域分解算法等等。在这些方法中,边界归化是处理无界区域上问题的重要思想。本文基于自然边界归化原理,提出了利用曲边有限元的区域分解法和自适应方法,并利用其求解了一类各向异性椭圆型方程外问题,具体研究分为以下两个部分:第一部分研究了各向异性外问题基于自然边界归化和曲边有限元的Schwarz算法,从变分角度出发,利用投影理论证明了算法在连续及离散情形下的几何收敛性,并基于曲边协调元给出了离散迭代解与真解之间的H1-误差估计和2L-误差估计,该误差依赖于曲边有限元网格尺寸h和迭代次数k。数值算例表明,与直边有限元相比,基于曲边有限元的Schwarz算法可以保证迭代解的收敛特性不变,并在一定程度上减小迭代解与真解之间的误差。第二部分研究了各向异性外问题基于自然边界归化和曲边有限元的自适应D-N交替法。首先,考虑了自然边界积分方程中截断项数N对于算法的影响,建立了带截断项数N的D-N交替法。然后,引入Steklov-Poincaré算子,得到了D-N交替法及其离散格式的收敛性结果,并基于曲边协调元证明了迭代解与真解之间的H1-误差估计,该误差依赖于截断项数N、曲边有限元网格尺寸h、收缩因子?和迭代次数k。数值算例显示,曲边有限元和移动网格方法有效地提高了数值解的精度。
谢雅宁[3]（2020）在《求解椭圆型偏微分方程的四阶KFBI方法及其应用》文中进行了进一步梳理四阶无核边界积分（kernel-free boundary integral,以下简称KFBI）方法是求解复杂区域上椭圆型偏微分方程快速,稳定的高精度数值方法.它是边界积分方法与直角网格方法的结合,既区别于传统边界积分方法对格林函数的依赖,又避免了直角网格方法对复杂区域刻画的限制.本文将从研究背景,理论基础,核心算法,相关应用及拓展五个方面对求解椭圆型偏微分方程的四阶KFBI方法展开详细内容.KFBI方法是传统边界积分方法的改进与发展.由位势理论,原椭圆型方程边值问题可转化为与之对应的边界积分方程.离散的边界积分方程可由Krylov子空间迭代法求解.本文将用到两种子空间迭代,即Richardson迭代法及广义最小残量法.传统边界积分方法对方程中的体积分及边界积分的计算依赖于积分核的精确表达式,而KFBI方法将此过程转化为在直角网格下求解与积分等价的界面问题.本文将给出两种直角网格方法用于求解此类等价界面问题,即四阶精度有限差分方法及二阶精度定制有限点方法.不同直角网格方法对不同维度等价界面问题的求解均包含四个核心步骤,即利用紧格式离散控制方程,对界面附近不规则点处的离散格式做修正,快速算法求解线性系统以及插值提取解在界面处单侧极限信息.对于有限差分方法,本文采用二维的九点格式或三维27点格式离散,对该格式的修正只改变线性系统的右端项而保持系数矩阵不变,所得线性系统由基于快速傅立叶变换的椭圆方程快速求解器进行求解,边界处单侧极限信息由空间四阶多项式插值得到.对于定制有限点方法,利用修正的Bessel函数或指数函数的局部展开式可构造相应的二阶定制有限点格式,定制有限点修正及定制有限点插值,线性系统的求解采用一般迭代法如预处理的共轭梯度法.本文将重点介绍基于四阶精度有限差分方法求解等价界面问题的KFBI方法及其应用,包括该方法在求解二维空间二阶椭圆型方程边值问题,四阶双调和方程边值问题,复空间基于Helmholtz方程的声波多体散射问题及三维空间二阶椭圆型方程边值问题上的直接应用,以及该方法作为空间离散方法分别与时间方向的四阶精度复合向后差分公式或三阶半隐半显Runge-Kutta格式相结合用于求解不可压流体的Stokes及Navier-Stokes方程上的间接应用.同时,本文特别给出为求解奇异扰动问题而设计的基于二阶定制有限点方法求解等价界面问题的KFBI方法,及其在解决带有奇异扰动的反应扩散方程上的应用.其中时间方向离散采用二阶半隐半显Runge-Kutta格式.
张姣姣[4]（2020）在《定常欧拉方程的无穷长张开管道问题解的性态研究》文中认为定常欧拉方程是空气动力学中的基本方程,主要描述在稳定情况下流体的运动.本文考虑的高维无穷长张开管道,是一种先充分压缩再充分疏散的光滑区域.其中,压缩-疏散性是可压缩流体和不可压缩流体本质上的差异.本文对于高维无穷长张开管道问题,研究了定常无旋不可压缩欧拉方程解的适定性问题,在外力作用下定常无旋可压缩欧拉方程亚音速解的适定性问题和亚音速-音速极限解的存在性问题以及低马赫数极限问题.首先,研究定常不可压缩欧拉方程解的适定性问题.在无旋条件下,定常不可压缩欧拉方程可以转化为椭圆型方程.由于管道正负无穷远具有两个渐近状态,通过在两个方向各自构造相应的径向对称背景解,由此将方程的求解问题转化为等价能量泛函临界点的存在性问题;由变分法得到临界点的唯一存在性.利用椭圆型方程估计技巧,证明了解的正则性.再通过构造恰当的截断函数,证明了定常不可压缩欧拉方程解的唯一性.由此,证明了定常不可压缩欧拉方程解的适定性.然后,研究在外力作用下定常可压缩欧拉方程解的适定性.由于外力的作用,通过精细的相空间分析,得到合适的截断函数,将该方程修正为一致椭圆型方程.再构造以定常不可压缩欧拉方程解为背景解的变分问题,并由变分法证明临界点的唯一存在性.利用伸缩变换方法,研究了外力对于流体无穷远渐近状态的影响.在得到解的正则性和唯一性的基础上,通过Bers技巧,证明当通量小于临界通量时,定常可压缩欧拉方程存在唯一的亚音速解;将亚音速解作为逼近解,利用亚音速-音速紧性框架证明亚音速-音速极限解的存在性.综上,证明了在外力作用下定常无旋可压缩欧拉方程亚音速解的适定性和亚音速-音速极限解的存在性.最后,对于低马赫数极限问题,通过引入与可压-不可压差函数有关的能量泛函,建立一系列关于可压缩系数的一致估计.由此,证明了:当可压缩系数趋向于零时,定常可压缩欧拉方程的解光滑且唯一地收敛于定常不可压缩欧拉方程的解,并证明了包括压力本体在内的流场收敛速率快于非定常流.本文拓展了无穷长张开管道问题定常欧拉方程解的适定性和低马赫数极限问题的研究,引入了创新的研究方法和技巧,深入探究和挖掘了定常欧拉方程解的精细性质.研究工作完善了流体力学的数学理论,为后续理论探究和解决实际应用中出现的问题提供理论支持.
程晋,刘继军,张波[5]（2019）在《偏微分方程反问题:模型、算法和应用》文中进行了进一步梳理偏微分方程反问题是一个重要的数学研究领域,覆盖了偏微分方程、泛函分析、非线性分析、优化算法和数值分析等不同的数学分支,在介质成像、遥感遥测和图像处理等当代重要的工程领域有广泛的应用.基于问题的不适定性,求解这类问题需要引进正则化思想.但是由于模型的复杂性和广泛性,很难建立统一的正则化框架.本文旨在对几类重要的偏微分方程反问题的研究给出一个系统的总结.在阐明偏微分方程反问题起源和特点的基础上,对以电阻抗成像、波场逆散射和介质热成像为应用背景的三类重要的偏微分方程反问题,系统阐述了核心研究问题、已有结果和方法、未来重要的研究方向.最后从反演方法有效实现的角度,对影响偏微分方程反问题数值求解精度和误差估计的主要因素给出了分析.
杨洪[6]（2018）在《几类生物动力学模型的稳定性与分支分析》文中提出本文主要研究了几类生物动力学模型的稳定性和分支问题。此类问题的研究有助于了解自然界的时空模式。本文主要利用Lyapunov方法、单调性方法、稳态解全局分支定理和一致持久性理论,研究了系统的一致持久性、稳态解的全局吸引性、稳态分支和Hopf分支。首先,对具有时滞和一般接触率的宿主病毒模型,分别在不具有免疫反应和具有免疫反应的情形下,得到了解的正性和最终有界性。在此基础上,当基本再生数满足一定条件时,利用LaSalle不变集原理,证明了无病平衡点和染病平衡点的全局吸引性。其次,对具有零通量边界条件和一般接触率的扩散宿主病毒模型,该模型是退化型反应扩散方程,其解半流是非紧的,需要利用Arzela-Ascoli定理,证明系统的解半流是渐近紧的,利用非紧性Kuratowski测度,证明系统解半流是κ-压缩的,进一步,得到解半流全局吸引子的存在性;再利用比较原理和一致持久性理论,在不同条件下分别证明了无病稳态解的全局吸引性和系统的一致持久性。在齐次环境下,构造Lyapunov函数,证明了无病平衡点和染病平衡点的全局吸引性。再次,研究了具有时滞和齐次Neumann边界条件的扩散宿主病毒模型。由于时滞的影响,系统解半流所在的相空间不同于无时滞系统解半流所在的相空间。在非齐次环境下,根据基本再生数与相应特征值问题的主特征值之间的关系,利用单调性的方法和一致持久性理论,并借助无时滞系统相应的结论,在不同条件下分别证明了无病稳态解的全局吸引性和系统的一致持久性。在齐次的环境下,利用不变集原理,证明了系统的解收敛到平衡点。在源函数分别是空间非齐次和齐次的情况下,对系统进行数值模拟。最后,研究了具有毒素影响的浮游生物模型。分别在无扩散（常微分方程）和有扩散（偏微分方程）的情况下,分析了系统的动力学性质。对于无扩散的情形,利用Poincar′e-Bendixson定理,得到系统的双稳结构;针对于有扩散的情形,在齐次Neumann边界条件下,给出了正稳态解的先验估计,得到了非常值正稳态解的存在性和不存在性,以及在一定条件下扩散能导致稳态模式形成。此外,还给出了此系统稳态分支和Hopf分支的存在性条件。
关晓红[7]（2018）在《几类退化椭圆型方程及方程组的研究》文中认为本博士学位论文讨论了几类退化椭圆型方程及方程组问题,这些方程是带有奇异非线性项的半线性椭圆型方程和方程组,它们可以用来模拟各种不同的物理现象,在流体力学、生物等很多领域有着广泛的应用.关于这些方程和方程组解的性质的研究是近年来较热的一个课题.本文在一些加权Banach空间中建立新的Sobolev型嵌入定理,主要研究了退化椭圆型方程非负解的相关性质和相应的Liouville型定理,接着讨论了在径向和非径向对称情况下退化椭圆型方程组非负解的相关性质和相应的Liouville型定理.整个论文主体部分共分六章.第一章,首先介绍带有奇异非线性项的半线性椭圆型方程和方程组的研究背景及发展现状,然后介绍本文的结构和主要结论.最后简要回顾本文要用到的一些非线性分析和椭圆方程的基本知识.第二章,首先在全空间中包含原点的有界开区域上建立了新的加权Banach空间嵌入定理,以及在全空间中得到了退化椭圆型方程一组正的奇异径向对称整体解,然后利用嵌入定理和整体解的性质,构造了退化椭圆型方程具有事先给定奇异点的正弱解.第三章中,把第二章中的加权项推广到更一般的情形,分别在有界和无界区域中证明了在更一般情形下加权Banach空间的嵌入定理,这就推广了着名的Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式,然后把这一章得到的嵌入定理应用到一组退化椭圆型方程中,得到了弱解的存在性及相关性质.第四章,在第三章的基础上,去除了加权项关键的假设条件,得到了有界和无界区域中加权Banach空间的嵌入定理,这就推广了第三章中建立的嵌入定理,用这些嵌入定理得到了全空间有界光滑区域上退化椭圆方程Dirichlet问题正解的存在性和正则性结果.第五章,首先在去掉原点的全空间上建立退化椭圆型方程组径向对称解的Liouville型定理,然后在去掉原点的单位球内讨论了正的径向对称解在原点附近的性质,最后利用Schauder不动点定理得到了单位球上Dirichlet问题的正解的存在性.第六章,除去第五章中解是径向对称的假设,利用球面平均和移动球面法得到了去掉原点的全空间上退化椭圆型方程组解的Liouville型定理.
田虹[8]（2018）在《具弱正则数据的散度型椭圆和抛物方程的Calderon-Zygmund型估计》文中研究说明本文在弱正则系数和非光滑边界假设下,分别研究了具有标准增长或非标准增长的散度型椭圆方程Dirichlet问题、抛物方程Cauchy-Dirichlet问题以及相关的障碍问题弱解梯度的整体Calderon-Zygmund型估计.具体内容如下:第一章引言部分介绍了该研究的选题背景,引入了相关概念和符号,综述了偏微分方程Calderon-Zygmund理论的发展概况以及下文的主要内容.第二章考虑了一般形式的椭圆方程Dirichlet问题弱解在加权Lorentz-Sobolev空间中的整体正则性;其中假设该方程的主项系数满足部分正则,即关于一个变量可测、关于其余变量有小的BMO半范（称部分有界平均震荡,简称为部分BMO）,区域边界满足Reifenberg平坦.作为其直接结果,在上述相同的系数和区域边界假设下,建立其解梯度的整体Lorentz-Morrey估计;进而在自由项的较高正则假设下,得到了弱解的整体最优指数Holder估计.第三章利用简单的直接估计替代了通常的加权Lp估计方法,得到了定义在半空间上的散度型线性椭圆方程Dirichlet问题在部分正则系数下弱解梯度的整体Morrey估计.这里部分正则系数aij（x）指的同样是关于自变量满足一个方向可测、其余方向有小的BMO半范.第四章考虑定义在Reifenberg非光滑区域上具有小的部分BMO主项系数的线性椭圆障碍问题弱解梯度在变指数幂下的整体Lorentz估计;这里的变指数幂 p（x）满足 log-Holder 连续.第五章对于定义在Reifenberg非光滑区域上具有可控增长的散度型拟线性椭圆方程的Dirichlet问题,建立了弱解梯度的整体Morrey估计.这里主要假设是主非线性项关于空间变量满足小的部分BMO,低阶项满足可控增长.该研究将近期关于可控增长的拟线性椭圆方程的一系列工作涉及非线性项假设从小的BMO推广到更弱形式的部分BMO,而得到相同的整体估计.第六章研究了定义在Reifenberg平坦区域上的p-Laplacian型非线性抛物方程Cauchy-Dirichlet问题弱解梯度在加权Lorentz空间框架下的整体估计.这里主要正则性假设是非线性项关于时间变量t可测,关于空间变量x有小的BMO半范.本文拓展了相关抛物方程Cauchy-Dirichlet问题的正则性理论从Lebesgue空间到更加精细的加权Lorentz空间.第七章考虑定义在更粗糙的拟凸区域上,具有非标准增长的抛物障碍问题弱解梯度在变指数幂下的整体Lorentz估计.其中非标准增长的变指数p（t,x）满足强型log-Holder连续,非线性项关于时间变量可测、关于空间变量有小的BMO半范.该研究不仅将近期文献中涉及非标准增长的抛物问题的Lp理论拓广到更精细的障碍问题在Lorentz空间框架下的正则性,而且也将区域从Reifenberg平坦拓广到更粗糙的拟凸情形.第八章是对本研究工作的总结以及对后续工作的展望。
张俊杰[9]（2018）在《几类具有间断系数的椭圆和抛物方程广义解的正则性》文中研究指明本博士学位论文主要讨论了涉及偏微分方程广义解正则性的六个问题:一是非散度型线性椭圆方程强解的Lorentz正则性和Orlicz正则性;二是非散度型线性抛物方程强解的Lp（x,t）正则性;三是完全非线性椭圆方程粘性解的Lorentz和Lorentz-Morrey正则性;四是完全非线性抛物方程强解的Lorentz正则性;五是渐近正则的完全非线性抛物方程强解的Lorentz正则性;六是散度型线性抛物方程弱解的Holder连续性.具体内容如下:第1章与第2章分别主要介绍了本文的选题背景、国内外研究现状以及本文所用到的一些空间的基本概念和基本性质,第3章证明了当系数aij（x）满足一致椭圆条件和小的部分BMO条件时,非散度型线性椭圆方程aij（x）Diju=f（x）的强解具有内部加权Lorentz正则性和内部Orlictz正则性.主要思想基于经典的“扰动”方法、推广的Vitali覆盖引理,Hardy-Littlewood极大算子的Lorentz有界性和Orlicz有界性,以及Lorentz范数和Orlicz范数的等价水平集测度表示形式.第4章利用大M不等式原理证明了非散度型线性抛物方程ut-aij（x,t）Diju=f（x,t）的强解具有内部Lp（x,t）正则性.这里,我们假设系数aij（x,t）满足一致抛物条件和小的部分BMO条件,以及变指标p（x,t）满足log-Holder连续性条件.此外,我们还论证了该结果对非散度型线性椭圆方程aij（x）Diju=f（x）也成立.第5章研究了完全非线性椭圆方程F（D2u,x）=f（x）在有界C1.1区域上Dirichlet问题的粘性解.当F（M,x）关于M是凸的且满足一致椭圆条件和（δ,R）-消失条件时,基于Caffarelli内部W2.p（1<p<∞）估计和Winter边界W2.p（1<p<∞）估计,我们用粘性方法和有限覆盖定理证明了粘性解具有全局加权Lorentz正则性,并且通过选取恰当的权函数进一步证明了粘性解的 Lorentz-Morrey 正则性.第6章研究了完全非线性抛物方程ut,+F（D2u,x,t）=f（x,t）在有界C1,1区域上Cauchy-Dirichlet问题的强解.当F（M,x,t）是M的一次齐次凸函数且满足一致抛物条件和（δ,R）-消失条件时,我们用大M不等式原理证明了强解具有全局Lorentz正则性,并且此结论对椭圆情形也成立.第7章主要讨论了渐近正则的完全非线性抛物方程ut（x,t）+F（D2u,x,t）=f（x,t）在有界C1,1区域上Cauchy-Dirichlet问题的强解.我们先定义一个恰当的Poisson公式将该渐近正则方程转化为满足第6章中假设条件的完全非线性抛物方程,然后基于第6章的结果推导出该渐近正则方程的强解具有全局Lorentz正则性,最后论证了此结果对椭圆情形也成立.第8章研究了系数与时间变量无关且满足VMO条件的散度型线性抛物方程的弱解在Ho1der连续性空间的局部正则性.我们的方法是利用Green函数的自然增长性质,hole-filling技巧先证明方程弱解的局部Morrey正则性,再利用Morrey引理进一步证明我们想要的结果.
张世聪[10]（2018）在《两类椭圆型方程Dirichlet边值问题广义解的正则性》文中提出本文研究了两类椭圆型方程边值问题广义解的正则性:一是定义在Reifenberg区域上弱正则系数条件下的Stokes方程组弱解在加权Lorentz空间上的正则性和Lorentz-Morrey空间上的正则性;二是A-调和椭圆型方程Dirichlet问题的很弱解梯度在Lebesgue空间的正则性.具体内容如下:第一章主要介绍了本课题的研究背景和国内外的研究现状,以及本文用到的一些基本概念和基本性质.第二章研究了如下的Stokes方程组Dirichlet问题这里Ω（?）Rn,n≥ 2是个有界区域且边界非光滑以及F =（Fia）ni,a=1是一个给定的矩阵值函数,其中是未知量为速度u（u1,u2…un）和压力函数P.运用Hardy-Littlewood极大值算子在加权Lorentz空间的有界性和修正的Vitali覆盖方法证明了当系数A（x）具有小的BMO半范且区域Ω是Reifenberg平坦时,方程组的弱解梯度具有全局加权Lorentz正则性.进一步,通过选取恰当的权函数得到弱解梯度在Lorentz-Morrey空间的全局正则性.第三章利用Hodge分解的方法,在条件θ∈W1,q（Ω）下建立A-调和椭圆型方程Dirichlet问题的很弱解u∈θ+W1,r0（Ω）在Lebesgue空间的可积性,这里max{1,p-1}<r<p<n且充分接近p,主要结论是依据q>r的不同情况加以讨论.
二、在无界区域上拟线性散度型椭圆型方程的Dirichlet问题（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、在无界区域上拟线性散度型椭圆型方程的Dirichlet问题（论文提纲范文）
（1）带边无界区域上趋化-流体方程的整体适定性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究工作的背景和现状 |
| 1.2 本文的主要贡献与创新 |
| 1.3 本文的基本符号说明 |
| 第二章 带边无界区域上趋化-Navier-Stokes方程的整体适定性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 趋化-Navier-Stokes方程的整体适定性 |
| 2.2.1 局部存在性 |
| 2.2.2 一致先验估计和整体存在性 |
| 2.3 本章小节 |
| 第三章 混合边界条件下的趋化-Navier-Stokes方程解的整体存在性及其收敛速率 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 一致先验估计和整体存在性 |
| 3.4 收敛速率 |
| 3.5 本章小节 |
| 第四章 带有非线性扩散和旋转通量的Keller-Segel-Stokes方程解的整体存在性和有界性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 正则化问题 |
| 4.2.1 正则化系统的局部存在性和质量守恒 |
| 4.2.2 轻微提高n_ε和c_ε的正则性 |
| 4.2.3 u_ε的正则性 |
| 4.2.4 n_ε和Vc_ε在任意L~p空间中的正则性 |
| 4.2.5 正则化系统解的整体存在性和有界性 |
| 4.3 退化或奇异问题 |
| 4.3.1 近似解的更高正则性 |
| 4.3.2 子序列的收敛性 |
| 4.4 本章小节 |
| 第五章 全文总结与展望 |
| 5.1 全文总结 |
| 5.2 后续工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（2）椭圆型方程外问题基于自然边界归化的区域分解法和自适应方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 引言 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 本文的内容安排 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 SOBOLEV空间 |
| 2.2 二阶线性椭圆型方程 |
| 2.3 曲边有限元方法 |
| 2.4 自然边界归化 |
| 2.5 区域分解算法 |
| 2.6 自适应方法 |
| 第三章 基于自然边界归化和曲边有限元的SCHWARZ算法 |
| 3.1 问题描述 |
| 3.2 变分形式及SCHWARZ算法 |
| 3.3 SCHWARZ算法的收敛性 |
| 3.4 SCHWARZ算法基于曲边有限元的离散化 |
| 3.4.1 离散Schwarz算法 |
| 3.4.2 误差估计 |
| 3.5 数值算例 |
| 第四章 基于自然边界归化和曲边有限元的自适应D-N交替法 |
| 4.1 问题描述 |
| 4.2 基于自然边界归化的D-N交替法 |
| 4.3 D-N交替法的收敛性分析 |
| 4.4 D-N交替法基于曲边有限元的离散化 |
| 4.4.1 离散D-N交替法 |
| 4.4.2 离散D-N交替法的收敛性 |
| 4.4.3 误差估计 |
| 4.5 移动网格方法和数值算例 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 研究总结 |
| 5.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（3）求解椭圆型偏微分方程的四阶KFBI方法及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 文献综述 |
| 1.2 本文创新 |
| 第二章 位势理论与界面问题 |
| 2.1 位势理论 |
| 2.2 界面问题 |
| 2.2.1 求解二维空间中界面问题的四阶精度有限差分方法 |
| 2.2.2 求解三维空间中界面问题的四阶精度有限差分方法 |
| 第三章 求解二维空间椭圆型方程的四阶KFBI方法 |
| 3.1 修正的Helmholtz方程 |
| 3.1.1 边值问题 |
| 3.1.2 边界积分方法 |
| 3.1.3 数值算例 |
| 3.2 双调和方程 |
| 3.2.1 边值问题 |
| 3.2.2 边界积分方法 |
| 3.2.3 数值算例 |
| 第四章 求解三维空间椭圆型方程的四阶KFBI方法 |
| 4.1 边值问题 |
| 4.2 边界积分方法 |
| 4.3 数值算例 |
| 第五章 四阶KFBI方法在实际问题中的应用 |
| 5.1 Stokes及 Navier-Stokes方程 |
| 5.1.1 不可压流体力学方程的流函数-涡量表述 |
| 5.1.2 时间离散 |
| 5.1.3 空间离散 |
| 5.1.4 数值算例 |
| 5.2 声波多体散射问题 |
| 5.2.1 边界积分方法 |
| 5.2.2 数值算例 |
| 第六章 KFBI方法与定制有限点方法结合 |
| 6.1 时间离散 |
| 6.2 空间离散 |
| 6.2.1 边界积分方法 |
| 6.2.2 定制有限点方法求解界面问题 |
| 6.3 数值算例 |
| 全文总结 |
| 附录A 二维空间跳跃的计算 |
| A.1 二维空间偏导数跳跃的计算 |
| A.2 二维空间修正的Bessel展开式系数跳跃的计算 |
| 附录B 三维空间跳跃的计算 |
| B.1 跳跃计算公式 |
| B.2 对坐标分量求导 |
| B.3 对法向导数分量求导 |
| 附录C 基于指数函数的定制有限点方法 |
| C.1 定制有限点离散格式 |
| C.2 定制有限点格式修正 |
| C.3 定制有限点空间差值 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
| 攻读学位期间参与的项目 |
（4）定常欧拉方程的无穷长张开管道问题解的性态研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3.1 定常不可压缩欧拉方程 |
| 1.3.2 定常可压缩欧拉方程 |
| 1.3.3 低马赫数极限 |
| 1.3 问题与空间设定 |
| 1.4 研究目标与关键问题 |
| 1.5 章节安排 |
| 第2章 定常不可压缩欧拉方程解的适定性 |
| 2.1 问题的设定与结论 |
| 2.2 径向对称解 |
| 2.3 求解变分问题 |
| 2.3.1 变分泛函的性质 |
| 2.3.2 变分问题解的存在性 |
| 2.3.3 变分问题解的唯一性 |
| 2.4 正则性 |
| 2.4.1 解的正则性 |
| 2.4.2 解在无穷远处的衰减性 |
| 2.5 唯一性 |
| 2.6 定理2.1 的证明 |
| 2.7 本章总结 |
| 第3章 定常可压缩欧拉方程解的适定性 |
| 3.1 问题的设定与结论 |
| 3.2 存在性 |
| 3.3 正则性 |
| 3.4 唯一性 |
| 3.5 定理3.1 的证明 |
| 3.6 本章总结 |
| 第4章 低马赫数极限 |
| 4.1 问题的设定与结论 |
| 4.2 存在性 |
| 4.3 正则性 |
| 4.4 唯一性 |
| 4.5 定理4.1 的证明 |
| 4.6 本章总结 |
| 第5章 结论与展望 |
| 5.1 论文总结 |
| 5.2 论文展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表论文情况 |
（6）几类生物动力学模型的稳定性与分支分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题研究背景及意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 本文主要工作 |
| 第2章 具一般接触率和时滞病毒动力学模型的全局动力学行为 |
| 2.1 前言 |
| 2.2 无免疫反应的情形 |
| 2.2.1 基本的病毒模型 |
| 1 时的稳定性分析'>2.2.3 R_0>1 时的稳定性分析 |
| 2.3 有免疫反应的情形 |
| 2.3.1 基本性质 |
| 2.3.2 全局稳定性 |
| 2.3.3 数值模拟 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 具一般接触率和扩散病毒模型的全局动力学性质 |
| 3.1 前言 |
| 3.2 空间非齐次的情形 |
| 3.2.1 解的基本性质 |
| 3.2.2 渐近紧性 |
| 3.2.3 基本再生数和全局吸引性 |
| 3.3 空间齐次的情形 |
| 3.3.1 平衡点的存在性 |
| 3.3.2 全局吸引性 |
| 3.3.3 数值模拟 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 具时滞和空间异质病毒模型的全局动力学性质 |
| 4.1 前言 |
| 4.2 空间非齐次的情形 |
| 4.2.1 解的基本性质 |
| 4.2.2 紧性 |
| 4.2.3 基本再生数和全局吸引性 |
| 4.3 空间齐次的情形 |
| 4.3.1 平衡点的存在性 |
| 4.3.2 全局吸引性 |
| 4.4 数值模拟 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 具毒素影响的浮游生物模型的动力学性质分析 |
| 5.1 前言 |
| 5.2 ODE系统的研究 |
| 5.2.1 主要的结果 |
| 5.3 PDE系统的研究 |
| 5.3.1 非常值正稳态解的稳态模式 |
| 5.3.2 分支分析 |
| 5.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（7）几类退化椭圆型方程及方程组的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和发展现状 |
| 1.2 本文研究内容和主要结论 |
| 1.3 预备知识 |
| 第二章 退化Lane-Emden椭圆型方程的Sobolev型嵌入定理 |
| 2.1 Sobolev型嵌入定理 |
| 2.2 R~N上方程正的奇异径向对称整体解 |
| 2.3 方程(2-1)正奇异弱解的构造 |
| 第三章 加权Sobolev空间嵌入和退化的椭圆问题 |
| 3.1 有界区域上的嵌入定理 |
| 3.2 相关的退化问题 |
| 第四章 退化椭圆型问题非负解的存在性与正则性 |
| 4.1 有界和无界区域上的嵌入定理 |
| 4.2 方程(P)非平凡非负解的存在性 |
| 4.3 方程(P)解的正则性 |
| 第五章 退化Lane-Emden椭圆型方程组 |
| 5.1 全空间上正的径向对称整体解的Liouville型结果 |
| 5.2 单位球内正的径向对称解在原点附近的性质 |
| 5.3 Dirichlet问题的正的径向对称解的存在性 |
| 第六章 非径向对称情况下退化Lane-Emden型方程组的Liouville型结果 |
| 6.1 利用球面平均法得到退化Lane-Emden型方程组的一个Liouville型结果 |
| 6.2 利用移动球面法得到退化Lane-Emden型方程组的一个Liouville型结果 |
| 第七章 总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文目录 |
（8）具弱正则数据的散度型椭圆和抛物方程的Calderon-Zygmund型估计（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题背景 |
| 1.2 相关概念和符号 |
| 1.2.1 基本符号 |
| 1.2.2 几类函数空间定义 |
| 1.2.3 两类非光滑区域定义 |
| 1.3 L~p理论证明的几种基本方法 |
| 1.4 本文研究内容及目标结论 |
| 第2章 一致非退化椭圆方程的整体加权Lorentz估计 |
| 2.1 问题提出 |
| 2.2 相关假设、主要结果及推论 |
| 2.3 预备知识 |
| 2.4 辅助结果 |
| 2.4.1 内部分布函数估计 |
| 2.4.2 边界分布函数估计 |
| 2.5 主要结果的证明 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 散度型线性椭圆方程在半空间上的Morrey估计 |
| 3.1 问题提出 |
| 3.2 相关假设及主要结果 |
| 3.3 辅助结果 |
| 3.3.1 内部Morrey估计 |
| 3.3.2 边界Morrey估计 |
| 3.4 主要结果的证明 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 椭圆障碍问题的整体Lorentz估计 |
| 4.1 问题提出 |
| 4.2 障碍问题及变指数函数空间的研究背景 |
| 4.3 相关假设及主要结果 |
| 4.4 预备知识 |
| 4.5 椭圆障碍问题及相关估计 |
| 4.6 主要结果的证明 |
| 4.7 本章小结 |
| 第5章 具可控增长的椭圆方程的整体Morrey估计 |
| 5.1 问题提出 |
| 5.2 相关假设及主要结果 |
| 5.3 椭圆方程的Morrey正则性 |
| 5.4 主要结果的证明 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 非线性抛物方程的整体加权Lorentz估计 |
| 6.1 问题提出 |
| 6.2 p-Laplacian型问题的研究背景及研究现状 |
| 6.3 相关假设及主要结果 |
| 6.4 非线性抛物问题及相关估计 |
| 6.5 主要结果的证明 |
| 6.6 本章小结 |
| 第7章 具非标准增长的抛物障碍问题的整体Lorentz估计 |
| 7.1 问题提出 |
| 7.2 相关假设及主要结果 |
| 7.3 抛物障碍问题及相关估计 |
| 7.4 辅助结果 |
| 7.5 主要结果的证明 |
| 7.6 本章小结 |
| 第8章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士期间完成论文情况 |
| 学位论文数据集 |
（9）几类具有间断系数的椭圆和抛物方程广义解的正则性（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 选题背景及意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 非散度型线性方程解的正则性研究现状 |
| 1.2.2 完全非线性方程解的正则性研究现状 |
| 1.2.3 散度型算子的Green函数的研究现状 |
| 1.3 本文研究内容 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 基本符号 |
| 2.2 加权Lorentz空间和Lorentz-Morrey空间 |
| 2.3 Orlicz空间 |
| 2.4 L~(p(·))空间 |
| 3 非散度型线性椭圆方程强解的加权Lorentz正则性 |
| 3.1 相关引理 |
| 3.2 主要定理的证明 |
| 3.3 拓展结果 |
| 3.4 本章小结 |
| 4 非散度型线性抛物方程强解的L~(p(x,t))正则性 |
| 4.1 相关引理 |
| 4.2 主要定理的证明 |
| 4.3 椭圆情形 |
| 4.4 本章小结 |
| 5 完全非线性椭圆方程粘性解的正则性 |
| 5.1 相关定义和引理 |
| 5.2 粘性解的加权Lorentz正则性证明 |
| 5.3 粘性解的Lorentz-Morrey正则性证明 |
| 5.4 本章小结 |
| 6 完全非线性抛物方程强解的Lorentz正则性 |
| 6.1 相关引理 |
| 6.2 强解的内部Lorentz正则性证明 |
| 6.3 强解的全局Lorentz正则性证明 |
| 6.4 椭圆情形 |
| 6.5 本章小结 |
| 7 渐近正则的完全非线性抛物方程强解的Lorentz正则性 |
| 7.1 初边值为零的强解的Lorentz正则性证明 |
| 7.2 初边值非零的强解的Lorentz正则性证明 |
| 7.3 拓展结果 |
| 7.4 本章小结 |
| 8 散度型线性抛物方程解Holder连续性的Green函数方法 |
| 8.1 相关定义和引理 |
| 8.2 主要定理的证明 |
| 8.3 本章小结 |
| 9 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 作者简历及攻读博士学位期间取得的研究成果 |
| 学位论文数据集 |
（10）两类椭圆型方程Dirichlet边值问题广义解的正则性（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景与现状 |
| 1.2 相关定义与引理 |
| 1.3 本文研究的问题及其主要结论 |
| 第2章 弱正则条件下广义Stokes方程组的整体Lorentz估计 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 相关引理 |
| 2.3 主要结论及证明 |
| 第3章 A-调和方程边值问题很弱解的可积性 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 相关引理 |
| 3.3 主要结论及证明 |
| 第4章 结束语 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
四、在无界区域上拟线性散度型椭圆型方程的Dirichlet问题（论文参考文献）
- [1]带边无界区域上趋化-流体方程的整体适定性[D]. 彭英萍. 电子科技大学, 2021(01)
- [2]椭圆型方程外问题基于自然边界归化的区域分解法和自适应方法[D]. 王胜. 北方工业大学, 2020(02)
- [3]求解椭圆型偏微分方程的四阶KFBI方法及其应用[D]. 谢雅宁. 上海交通大学, 2020(01)
- [4]定常欧拉方程的无穷长张开管道问题解的性态研究[D]. 张姣姣. 武汉理工大学, 2020(08)
- [5]偏微分方程反问题:模型、算法和应用[J]. 程晋,刘继军,张波. 中国科学:数学, 2019(04)
- [6]几类生物动力学模型的稳定性与分支分析[D]. 杨洪. 哈尔滨工业大学, 2018(01)
- [7]几类退化椭圆型方程及方程组的研究[D]. 关晓红. 河南师范大学, 2018(07)
- [8]具弱正则数据的散度型椭圆和抛物方程的Calderon-Zygmund型估计[D]. 田虹. 北京交通大学, 2018(01)
- [9]几类具有间断系数的椭圆和抛物方程广义解的正则性[D]. 张俊杰. 北京交通大学, 2018(01)
- [10]两类椭圆型方程Dirichlet边值问题广义解的正则性[D]. 张世聪. 北京交通大学, 2018(01)